题目 已知数列 $\left\{{a_n}\right\}$ 满足 $\dfrac{1}{3}{a_n}\leqslant{a_{n + 1}}\leqslant 3{a_n},n \in{{\mathbb{N}}^*}$，${a_1}= 1$． 问题1 若 ${a_2}= 2$，${a_3}= x$，${a_4}= 9$，求 $x$ 的取值范围； 答案1 $[3,6]$ 解析1 根据题意，有$$\begin{cases} \dfrac 23\leqslant x\leqslant 6,\\ \dfrac x3\leqslant 9\leqslant 3x,\end{cases}$$解得 $x$ 的取值范围是 $[3,6]$． 备注1 问题2 若 $\left\{{a_n}\right\}$ 是等比数列，且 ${a_m}= \dfrac 1{1000}$，求正整数 $m$ 的最小值，以及 $m$ 取最小值时相应 $\left\{{a_n}\right\}$ 的公比； 答案2 $m$ 的最小值为 $8$，相应 $\{a_n\}$ 的公比为 $10^{-\frac 37}$ 解析2 根据题意，有$$\forall n\in{\mathbb N^*},\dfrac 13q^{n-1}\leqslant q^n\leqslant 3q^{n-1},$$从而 $\dfrac 13\leqslant q\leqslant 3$，进而$$\left(\dfrac 13\right)^{m-1}\leqslant q^{m-1}\leqslant 3^{m-1},$$即$$\left(\dfrac 13\right)^{m-1}\leqslant \dfrac{1}{1000} \leqslant 3^{m-1},$$从而 $m$ 的最小值为 $8$，相应 $\{a_n\}$ 的公比为 $10^{-\frac 37}$． 备注2 问题3 若 ${a_1},{a_2},\cdots,{a_{100}}$ 成等差数列，求 ${a_1},{a_2},\cdots ,{a_{100}}$ 的公差的取值范围． 答案3 $\left[-\dfrac{2}{199},2\right]$ 解析3 根据题意，当 $n=1,2,\cdots ,99$ 时，均有$$\dfrac 13\cdot\left[1+(n-1)d\right]\leqslant 1+nd\leqslant 3\cdot\left[1+(n-1)d\right],$$即对 $n=1,2,\cdots ,99$，均有$$\begin{cases} (2n+1)d\geqslant -2,\\ (2n-3)d\geqslant -2,\end{cases}$$从而 $-\dfrac{2}{199}\leqslant d\leqslant 2$．因此等差数列 ${a_1},{a_2},\cdots ,{a_{100}}$ 的公差的取值范围为 $\left[-\dfrac{2}{199},2\right]$． 备注3