题目 已知数列 $\left\{{a_n}\right\}$ 满足 $\dfrac{1}{3}{a_n}\leqslant{a_{n + 1}}\leqslant 3{a_n}$，$n \in{{\mathbb{N}}^*}$，${a_1}= 1$． 问题1 若 ${a_2}= 2$，${a_3}= x$，${a_4}= 9$，求 $x$ 的取值范围； 答案1 $x$ 的取值范围是 $[3,6]$ 解析1 根据题意，有$$\begin{cases} \dfrac 23\leqslant x\leqslant 6,\\ \dfrac x3\leqslant 9\leqslant 3x,\end{cases}$$解得 $x$ 的取值范围是 $[3,6]$． 备注1 问题2 若 $\left\{{a_n}\right\}$ 是公比为 $q$ 的等比数列，${S_n}={a_1}+{a_2}+ \cdots +{a_n}$，$\dfrac{1}{3}{S_n}\leqslant{S_{n + 1}}\leqslant 3{S_n}$，$n \in{{\mathbb{N}}^*}$，求 $q$ 的取值范围； 答案2 $q$ 的取值范围是 $\left[\dfrac 13,2\right]$ 解析2 根据题意，有$$\forall n\in{\mathbb N^*},\dfrac 13q^{n-1}\leqslant q^n\leqslant 3q^{n-1},$$从而 $\dfrac 13\leqslant q\leqslant 3$．<br/><case>情形一</case> $q=1$．此时 $S_n=n$（$n\in{\mathbb N^*}$），显然有 $\dfrac 13S_n\leqslant S_{n+1}\leqslant 3S_n$，符合题意．<br/><case>情形二</case> $\dfrac 13\leqslant q<1$．此时 $S_n=\dfrac{1-q^n}{1-q}$，根据题意，有$$\forall n\in{\mathbb N^*},\dfrac 13\cdot\dfrac{1-q^n}{1-q}\leqslant \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\leqslant 3\cdot\dfrac{1-q^n}{1-q},$$即对任意正整数 $n$，均有$$\begin{cases} q^n(3-q)\leqslant 2,\\ q^n(3q-1)\leqslant 2,\end{cases}$$也即$$\begin{cases} q(3-q)\leqslant 2,\\ q(3q-1)\leqslant 2,\end{cases}$$解得 $\dfrac 13\leqslant q<1$．<br/><case>情形三</case> $1<q\leqslant 3$．此时 $S_n=\dfrac{q^n-1}{q-1}$，根据题意，有$$\forall n\in{\mathbb N^*},\dfrac 13\cdot\dfrac{q^n-1}{q-1}\leqslant \dfrac{q^{n+1}-1}{q-1}\leqslant 3\cdot\dfrac{q^n-1}{q-1},$$即对任意正整数 $n$，均有$$\begin{cases} q^n(3-q)\geqslant 2,\\q^n(3q-1)\geqslant 2,\end{cases}$$也即$$\begin{cases} q(3-q)\geqslant 2,\\ q(3q-1)\geqslant 2,\end{cases}$$解得 $1<q\leqslant 2$．<br/>综上所述，$q$ 的取值范围是 $\left[\dfrac 13,2\right]$． 备注2 问题3 若 ${a_1},{a_2},\cdots,{a_k}$ 成等差数列，且 ${a_1}+{a_2}+ \cdots +{a_k}= 1000$，求正整数 $k$ 的最大值，以及 $k$ 取最大值时相应数列 ${a_1},{a_2},\cdots,{a_k}$ 的公差． 答案3 $k$ 的最大值为 $1999$，此时公差 $d=-\dfrac{1}{1999}$ 解析3 根据题意，当 $n=1,2,\cdots ,k-1$ 时，均有$$\dfrac 13\cdot\left[1+(n-1)d\right]\leqslant 1+nd\leqslant 3\cdot\left[1+(n-1)d\right],$$即对 $n=1,2,\cdots ,k-1$，均有$$\begin{cases} (2n+1)d\geqslant -2,\\ (2n-3)d\geqslant -2,\end{cases}$$从而 $-\dfrac{2}{2k-1}\leqslant d\leqslant 2$．<br/>又由等差数列的前 $n$ 项和公式，有$$a_1+a_2+\cdots +a_k=\dfrac d2k^2+\left(1-\dfrac d2\right)k=1000,$$解得 $d=\dfrac{2000-2k}{k^2-k}$．<br/>综上所述，有$$-\dfrac{2}{2k-1}\leqslant \dfrac{2000-2k}{k^2-k}\leqslant 2,$$解得 $32\leqslant k\leqslant 1999$，因此 $k$ 的最大值为 $1999$，此时公差 $d=-\dfrac{1}{1999}$． 备注3