已知数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 满足 ${a_{n + 1}} = n{p^n} + q{a_n},a_1=0$．
【难度】
【出处】
2014年清华大学等五校联考自主招生试题
【标注】
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若 $q = 1$，求 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 的通项公式；标注答案若 $p=1$，则 $a_n=\dfrac{n(n-1)}{2}$；
若 $p\ne 1$，则 $a_n=\dfrac{p-p^n}{\left(1-p\right)^2}-\dfrac{(n-1)p^n}{1-p}$解析当 $q=1$ 时，有 $a_{n+1}-a_n=np^n$：
若 $p=1$，则 $a_{n+1}-a_n=n$，则累加法知$$a_n=(n-1)+(n-2)+\cdots+1+a_1=\dfrac{n(n-1)}{2};$$若 $p\ne 1$，则$$a_n=(n-1)p^{n-1}+(n-2)p^{n-2}+\cdots+1\cdot p^1,$$从而有$$pa_n=(n-1)p^n+(n-2)p^{n-1}+\cdots+p^2,$$两式相减整理得 $a_n=\dfrac{p-p^n}{\left(1-p\right)^2}-\dfrac{(n-1)p^n}{1-p}$． -
若 $\left| p \right| < 1$，$\left| q \right| < 1$，求证：数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 有界．标注答案略解析由 ${a_{n + 1}} = n{p^n} + q{a_n},a_1=0$，得$$\dfrac{a_{n+1}}{q^{n+1}}=\dfrac{a_n}{q^n}+\dfrac{1}{q}\cdot n\cdot \left(\dfrac{p}{q}\right)^n,$$所以$$\dfrac{a_{n+1}}{q^{n+1}}=\dfrac{1}{q}\left[\left(\dfrac{p}{q}\right)+2\left(\dfrac{p}{q}\right)^2+3\left(\dfrac{p}{q}\right)^3+\cdots+n\left(\dfrac{p}{q}\right)^n\right],$$故$$a_{n+1}=pq^{n-1}+2p^2q^{n-2}+\cdots+np^n.$$而当 $\left| p \right| < 1$ 时，数列 $\left\{np^n\right\}$ 有界，即存在常数 $M>0$，使得 $\left|np^n\right|<M$ 恒成立，所以\[\begin{split}\left|a_{n+1}\right|&\leqslant \left|p\right|\cdot\left|q\right|^{n-1}+2\left|p\right|^2\cdot\left|q\right|^{n-2}+\cdots+n\left|p\right|^{n}\\&<M\left(1+\left|q\right|+\left|q\right|^2+\cdots+\left|q\right|^{n-1}\right)\\&<\dfrac{M}{1-\left|q\right|},\end{split}\]故数列 $\left\{a_n\right\}$ 有界．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
