求证：数列 $a_n=\left(1+\dfrac 1n\right)^{n+1}$ 单调递减．
【难度】
【出处】
2015年上海交通大学自主招生试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
即证明$$\left(1+\dfrac 1n\right)^{n+1}>\left(1+\dfrac 1{n+1}\right)^{n+2},$$也即$$\left(\dfrac n{n+1}\right)^{n+1}<\left(\dfrac{n+1}{n+2}\right)^{n+2},$$对不等式左边用均值不等式得$$LHS=\dfrac{n}{n+1}\cdot\dfrac{n}{n+1}\cdots\dfrac{n}{n+1}\cdot 1\leqslant \left[\dfrac {(n+1)\cdot\dfrac n{n+1}+1}{n+2}\right]^{n+2}=RHS.$$显然等号取不到，所以不等式得证．
答案
解析
备注
