设 $a,b,c$ 均为正数且 $a,b,c$ 成等差数列，判断 $\dfrac 1{\sqrt b+\sqrt c},\dfrac 1{\sqrt c+\sqrt a},\dfrac 1{\sqrt a+\sqrt b}$ 是否成等差数列，并说明理由．
【难度】
【出处】
2016年北京大学全国优秀中学生暑期夏令营试题
【标注】
【答案】
$\dfrac 1{\sqrt b+\sqrt c},\dfrac 1{\sqrt c+\sqrt a},\dfrac 1{\sqrt a+\sqrt b}$ 是等差数列
【解析】
由题意知 $b-a=c-b=\dfrac 12(c-a)$，所以$$\begin{split} \dfrac {1}{\sqrt b+\sqrt c}+\dfrac 1{\sqrt a+\sqrt b}=&\dfrac {\sqrt c-\sqrt b}{c-b}+\dfrac {\sqrt b-\sqrt a}{b-a}\\=&\dfrac {\sqrt c-\sqrt a}{b-a}=\dfrac {\sqrt c-\sqrt a}{\frac 12(c-a)}\\=&\dfrac {2}{\sqrt c+\sqrt a}.\end{split} $$从而得到 $\dfrac 1{\sqrt b+\sqrt c},\dfrac 1{\sqrt c+\sqrt a},\dfrac 1{\sqrt a+\sqrt b}$ 是等差数列．
答案
解析
备注
