已知数列 $\left\{x_n\right\}$ 和 $\left\{y_n\right\}$ 满足 $x_0=5$，$y_0=2$，以及$$\begin{cases}x_{n+1}=-\dfrac{7}{2}x_n+6y_n,\\y_{n+1}=-3x_n+5y_n.\end{cases}$$求 $\lim\limits_{n\to\infty}x_n$ 以及 $\lim\limits_{n\to\infty}y_n$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\lim\limits_{n\to\infty}y_n=-12$，$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=-16$
【解析】
根据已知，有$$x_{n+1}+\lambda y_{n+1}=\left(-\dfrac 72-3\lambda\right)x_n+\left(6+5\lambda\right)y_n,$$其中 $\lambda$ 为待定系数．为了构造等比数列，我们令$$\dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{-\dfrac 72-3\lambda}{6+5\lambda},$$解得$$\lambda=-\dfrac 43 \lor \lambda =-\dfrac 32,$$从而有$$\begin{cases} x_{n+1}-\dfrac 43y_{n+1}=\dfrac 12\left(x_n-\dfrac 43y_n\right),\\x_{n+1}-\dfrac 32y_{n+1}=x_n-\dfrac 32y_n,\end{cases}$$分别设两个数列的极限为 $x_0$ 和 $y_0$，则有$$\begin{cases}x_0-\dfrac 43y_0=0,\\x_0-\dfrac 32y_0=2,\end{cases}$$解得$$x_0=-16,y_0=-12.$$
答案
解析
备注
