题目 已知 $\{a_n\}$ 为递增数列，其前 $n$ 项和为 $S_n$，$a_1>1$，且 $10S_n=\left(2a_n+1\right)\left(a_n+2\right)$，$n\in\mathbb N^*$． 问题1 求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式； 答案1 $a_n=\dfrac{5n-1}2$，$n\in\mathbb N^*$ 解析1 当 $n=1$ 时，有$$10a_1=\left(2a_1+1\right)\left(a_1+2\right),$$解得 $a_1=2$．<br/>当 $n\geqslant 2$ 时，有$$10a_n=\left(2a_n+1\right)\left(a_n+2\right)-\left(2a_{n-1}+1\right)\left(a_{n-1}+2\right),$$整理得$$\left(a_{n}+a_{n-1}\right)\left[2\left(a_{n}-a_{n-1}\right)-5\right]=0,$$于是$$a_n-a_{n-1}=\dfrac 52,$$从而可得 $a_n=\dfrac{5n-1}2$，$n\in\mathbb N^*$． 备注1 问题2 是否存在 $m,n,k\in\mathbb N^*$，使得 $2\left(a_m+a_n\right)=a_k$ 成立？若存在，写出一组符合条件的 $m,n,k$；若不存在，请说明理由； 答案2 不存在 解析2 不存在满足条件的正整数 $m,n,k$．用反证法证明如下．<br/>假设存在 $m,n,k\in\mathbb N^*$，使得 $2\left(a_m+a_n\right)=a_k$，则$$5m-1+5n-1=\dfrac{5k-1}2,$$即$$2m+2n-k=\dfrac 35,$$矛盾．因此不存在满足条件的正整数 $m,n,k$． 备注2 问题3 设 $b_n=a_n-\dfrac{n-3}2$，$c_n=\dfrac{2(n+3)a_n}{5n-1}$，若对于任意的 $n\in\mathbb N^*$，不等式$$\dfrac{\sqrt 5m}{31\left(1+\dfrac 1{b_1}\right)\left(1+\dfrac 1{b_2}\right)\cdots\left(1+\dfrac 1{b_n}\right)}-\dfrac{1}{\sqrt{c_{n+1}+n-1}}\leqslant 0$$恒成立，求正整数 $m$ 的最大值． 答案3 $8$ 解析3 根据题意，有$$b_n=2n+1,c_n=n+3,$$于是题中不等式可以转化为$$\dfrac 43\cdot \dfrac 65\cdot \dfrac 87\cdots \dfrac{2n+2}{2n+1}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{2n+3}}\geqslant \dfrac{\sqrt 5 m}{31},$$设不等式左边为 $p_n$，则$$\dfrac{p_{n+1}}{p_n}=\dfrac{2n+4}{2n+3}\cdot\dfrac{\sqrt{2n+3}}{\sqrt{2n+5}}=\sqrt{\dfrac{4n^2+16n+16}{4n^2+16n+15}}>1,$$于是 $\{p_n\}$ 单调递增，从而题意即$$\dfrac{\sqrt 5m}{31}\leqslant p_1=\dfrac{4}{3\sqrt 5},$$解得 $m\leqslant \dfrac{124}{15}$，于是正整数 $m$ 的最大值为 $8$． 备注3