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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
20391 5c9d80f8210b280b2397eb47 高中 解答题 自招竞赛 如图，$ABCD$ 为正方形。点 $E$ 是 $\overline {AD} $ 中点。点 $F$ 和 $G$ 在 $\overline{CE} $ 上，点 $H$ 和 $J$ 分别在 $\overline {AB} $ 和 $\overline {BC} $ 上，使得 $FGHJ$ 是正方形。点 $K$ 和 $L$ 在 $\overline {GH} $ 上，$M$ 和 $N$ 分别在 $\overline {AD} $ 和 $\overline {AB} $ 上，使得 $KLMN$ 是正方形。 $KLMN$ 的面积是99。求 $FGHJ$ 的面积。 2022-04-17 19:22:59
20038 5cb6d588210b28021fc75767 高中 解答题 自招竞赛 如图，椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左焦点为 $F$，过点 $F$ 的直线交椭圆于 $A$、$B$ 两点．当直线 $AB$ 经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为 $60^{\circ}$． 2022-04-17 19:01:56
20034 5cb81177210b280220ed20ba 高中 解答题 自招竞赛 如图，园内接四边形 $ABCD$ 中，自 $AD$ 的中点 $M$，作 $MN\bot BC,ME\bot AB,MF\bot CD,N,E,F$ 为垂足
证明：$MN$ 过线段 $EF$ 的中点．		 2022-04-17 19:59:55
20027 5cbfc7d2210b28021fc75a8b 高中 解答题 自招竞赛 如图，在锐角 $\triangle ABC$ 中，$D,E$ 是边 $BC$ 上的点，$\triangle ABC,\triangle ABD,\triangle ADC$ 的外心分别为 $O,P,Q$．证明： 2022-04-17 19:54:55
20024 5cc122f4210b28021fc75b8d 高中 解答题 自招竞赛 如图，$\triangle ABC$ 的内心为 $I,D,E,F$ 分别是边 $BC,CA,AB$ 的中点，证明：直线 $DI$ 平分 $\triangle DEF$ 的周长． 2022-04-17 19:53:55
20008 5cce4b14210b280220ed27f3 高中 解答题 自招竞赛 如图，在锐角 $\triangle ABC$ 中．$M$ 是 $BC$ 的中点，圆 $O$ 过点 $A$ 且与直线 $BC$ 相切于点 $C$，直线 $AM$ 与圆 $O$ 交于另一点 $D$，直线 $BD$ 与圆 $O$ 交于另一点 $E$．
证明：$\angle EAC=\angle BAC$．		 2022-04-17 19:43:55
19999 5cd11221210b280220ed29bd 高中 解答题 自招竞赛 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle C=90^\circ,\angle ABC$ 的平分线交 $AC$ 于点 $E$，过点 $E$ 作 $BE$ 的垂线交 $AB$ 于点 $F$，$\odot O$ 是 $\triangle BEF$ 的外接圆且 $\odot O$ 交 $BC$ 于点 $D$． 2022-04-17 19:40:55
19994 5cd3928d210b280220ed2ac1 高中 解答题 自招竞赛 已知梯形 $ABCD$，边 $CD,AB$ 分别为上，下底，且 $\angle ADC=90^\circ$，对角线 $AC\bot BD$，过 $D$ 作 $DE\bot BC$ 于点 $E$．证明： 2022-04-17 19:36:55
19986 5cda5aad210b28021fc76176 高中 解答题 自招竞赛 如图，$\odot O$ 切 $AB,AC$ 于点 $B,C$，过 $C$ 的割线 $CD\parallel AB$ 交 $\odot O$ 于点 $D$，$E$ 是 $AB$ 延长线上一点，直线 $CE$ 分别交 $BD$ 和 $\odot O$ 于点 $F,G$．延长 $BG$ 与 $CD$ 的延长线相交于点 $P$．求证：$A,F,P$ 三点共线． 2022-04-17 19:32:55
19982 5cdbc2c6210b280220ed2eaf 高中 解答题 自招竞赛 如图，在凸四边形 $ABCD$ 中，$M$ 为边 $AB$ 的中点，且 $MC=MD$．分别过点 $C,D$ 作边 $BC,AD$ 的垂线，设两条垂线的交点为 $P$．过点 $P$ 作 $PQ\bot AB$ 于 $Q$．
求证：$\angle PQC=\angle PQD$．		 2022-04-17 19:30:55
19979 5cdd2487210b280220ed2fd5 高中 解答题 自招竞赛 已知 $P$ 是矩形 $ABCD$ 所在平面上的一点，则有 $PA^2+PC^2=PB^2+PD^2$．试证明该命题． 2022-04-17 19:28:55
19976 5cde676e210b28021fc76421 高中 解答题 自招竞赛 如图，在圆内接四边形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $P$，$\triangle ABD$ 与 $\triangle ABC$ 的内心分别为 $I_1$ 和 $I_2$，直线 $I_1I_2$ 分别与 $AC,BD$ 交于点 $M,N$，求证：$PM=PN$． 2022-04-17 19:26:55
19970 5ce36fff210b280220ed3179 高中 解答题 自招竞赛 如图，大圆和小圆为同心圆，其圆心为 $O$．过大圆上一点 $A$ 作小圆的切线 $AC$，切点为 $B$，点 $C$ 在大圆上，$D$ 为 $AB$ 的中点．$\triangle ACE$ 的顶点 $E$ 在小圆上，$AE$ 交小圆于 $F$．设 $CE,DF$ 的垂直平分线的交点 $P$ 在直线 $AC$ 上．求证：$CF\bot DF$． 2022-04-17 19:23:55
19389 590ac5ff6cddca000a0819ca 高中 解答题 自招竞赛 如图，$\triangle ABC$ 内接于圆 $O$，$P$ 为弧 $BC$ 上一点，点 $K$ 在线段 $AP$ 上，使得 $BK$ 平分 $\angle ABC$．过 $K$、$P$、$C$ 三点的圆 $\Omega$ 与边 $AC$ 交于点 $D$，连接 $BD$ 交圆 $\Omega$ 于点 $E$，连接 $PE$ 并延长与边 $AB$ 交于点 $F$，证明：$\angle ABC=2\angle FCB$． 2022-04-17 19:09:50
18034 5dbbcde1210b28270fa5da84 高中 解答题 自招竞赛 在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle A=90^\circ,\angle C=30^\circ$．过点 $A$ 的圆 $\Gamma$ 与边 $BC$ 切于中点 $K$，圆 $\Gamma$ 与边 $AC,\triangle ABC$ 的外接圆分别交于点 $N,M$．证明：$MN \perp BC$． 2022-04-17 19:45:37
18033 5dbbcec9210b282710a268ed 高中 解答题 自招竞赛 已知 $\triangle ABC$ 的内切圆与边 $BC,AC,AB$ 分别切于点 $D,E,F$，过点 $F,E$ 作 $BC$ 的垂线，垂足分别为 $K,L$，这两条垂线与内切圆的第二个交点分别为 $M,N$．证明：$\dfrac{S_{\triangle BMD}}{S_{\triangle CND}}=\dfrac{DK}{DL}$． 2022-04-17 19:44:37
18032 5dbbd0d2210b282710a268fb 高中 解答题 自招竞赛 在 $\triangle ABC$ 中，$\angle C=\angle A +90^\circ$，点 $D$ 在线段 $BC$ 的延长线上，使得 $AC= AD$，点 $E$ 与 $A$ 在边 $ BC$ 的两侧，满足 $\angle EBC=\angle A,\angle EDC=\dfrac{1}{2}\angle A$．证明：$\angle CED=\angle ABC$． 2022-04-17 19:44:37
18031 5dbbd19a210b28270fa5da8f 高中 解答题 自招竞赛 已知 $X,Y$ 为 $\triangle ABC$ 的外接圆弧 $BC$（不含点 $A$）上的两点，满足 $\angle BAX=\angle CAY$．设 $M$ 为线段 $AX$ 的中点．证明：$BM+CM>AY$． 2022-04-17 19:44:37
18030 5dbbd1f5210b282710a26905 高中 解答题 自招竞赛 在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle A=90^\circ,\angle C=30^\circ$．过点 $A$ 的圆 $\Gamma$ 与边 $BC$ 切于中点 $K$，圆 $\Gamma$ 与边 $AC,\triangle ABC$ 的外接圆分别交于点 $N,M$．证明：$MN \perp BC$． 2022-04-17 19:43:37
18029 5dbbd206210b28270fa5da94 高中 解答题 自招竞赛 在四边形 $ABCD$ 中，$\angle B=\angle D =60^\circ$，过边 $AD$ 的中点 $M$ 作平行于 $CD$ 的直线，与 $BC$ 交于点 $P$，点 $X$ 在直线 $CD$ 上，满足 $ BX= MX$．证明：$AB = BP$ 的充分必要条件为 $\angle MXB=60^\circ$． 2022-04-17 19:43:37
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