在四边形 $ABCD$ 中，$\angle B=\angle D =60^\circ$，过边 $AD$ 的中点 $M$ 作平行于 $CD$ 的直线，与 $BC$ 交于点 $P$，点 $X$ 在直线 $CD$ 上，满足 $ BX= MX$．证明：$AB = BP$ 的充分必要条件为 $\angle MXB=60^\circ$．
【难度】
【出处】
2014年第一届伊朗几何奥林匹克
【标注】
【答案】
略
【解析】
如图，作等边 $\triangle MBX^\prime$（点 $X,X^\prime$ 在边 $MB$ 的同侧）．
则 $AB=BP\Leftrightarrow$ 点 $X^\prime$ 与 $X$ 重合．
必要性
若 $AB=BP$，则 $\triangle ABP$ 为等边三角形．由 $\angle ABP= \angle MBX^\prime=60^\circ$，知
$ \angle ABM=\angle PBX^\prime $．
又 $ AB=BP,BM =BX^\prime$，于是，
$\triangle BAM\cong \triangle BPX^\prime$．
故 $\angle X^\prime PM=360^\circ -\angle MPB-\angle BPX^\prime =360^\circ -\angle DCB-\angle BAM=120^\circ$．
因为 $MP\parallel DC$，所以，
$\angle PMD = 180^\circ-\angle D = 120^\circ$．
过点 $M$ 作平行于 $CD$ 的直线，与 $AD$ 交于点 $D^\prime $，则四边形 $MPX^\prime D^\prime $ 为等腰梯形．
于是，$PX^\prime =MD^\prime$．
由 $\triangle BAM\cong \triangle BPX^\prime\Rightarrow PX^\prime=AM=MD\Rightarrow MD^\prime=MD$．
这表明，点 $D^\prime$ 与 $D$ 重合，点 $X^\prime$ 也在直线 $CD$ 上．
故 $ X、X^\prime$ 均为直线 $DC$ 与线段 $MB$ 的垂直平分线的交点．
因此，点 $X^\prime$ 与 $X$ 重合．
充分性．
作等边 $\triangle ABP^\prime $（点 $ P^\prime、X$ 在边 $AB$ 的同侧），只需证明点 $P^\prime$ 与 $P$ 重合．
如图，过点 $P^\prime$ 作平行于 $CD$ 的直线，与 $AD$ 交于点 $ M^\prime$．
则 $\angle XP^\prime M^\prime=360^\circ一\angle M^\prime P^\prime B-\angle BP^\prime X =360^\circ-\angle DCB-\angle BAM=120^\circ$．
又 $\angle P^\prime M^\prime D= 120^\circ$，故四边形 $XP^\prime M^\prime D$ 为等腰梯形，且 $DM^\prime=P^\prime X=AM=DM$．
这表明，点 $M^\prime$ 与 $M$ 重合，进而，点 $P^\prime$ 与 $P$ 重合．
则 $AB=BP\Leftrightarrow$ 点 $X^\prime$ 与 $X$ 重合．必要性
若 $AB=BP$，则 $\triangle ABP$ 为等边三角形．由 $\angle ABP= \angle MBX^\prime=60^\circ$，知
$ \angle ABM=\angle PBX^\prime $．
又 $ AB=BP,BM =BX^\prime$，于是，
$\triangle BAM\cong \triangle BPX^\prime$．
故 $\angle X^\prime PM=360^\circ -\angle MPB-\angle BPX^\prime =360^\circ -\angle DCB-\angle BAM=120^\circ$．
因为 $MP\parallel DC$，所以，
$\angle PMD = 180^\circ-\angle D = 120^\circ$．
过点 $M$ 作平行于 $CD$ 的直线，与 $AD$ 交于点 $D^\prime $，则四边形 $MPX^\prime D^\prime $ 为等腰梯形．
于是，$PX^\prime =MD^\prime$．
由 $\triangle BAM\cong \triangle BPX^\prime\Rightarrow PX^\prime=AM=MD\Rightarrow MD^\prime=MD$．
这表明，点 $D^\prime$ 与 $D$ 重合，点 $X^\prime$ 也在直线 $CD$ 上．
故 $ X、X^\prime$ 均为直线 $DC$ 与线段 $MB$ 的垂直平分线的交点．
因此，点 $X^\prime$ 与 $X$ 重合．
充分性．
作等边 $\triangle ABP^\prime $（点 $ P^\prime、X$ 在边 $AB$ 的同侧），只需证明点 $P^\prime$ 与 $P$ 重合．
如图，过点 $P^\prime$ 作平行于 $CD$ 的直线，与 $AD$ 交于点 $ M^\prime$．
则 $\angle XP^\prime M^\prime=360^\circ一\angle M^\prime P^\prime B-\angle BP^\prime X =360^\circ-\angle DCB-\angle BAM=120^\circ$．又 $\angle P^\prime M^\prime D= 120^\circ$，故四边形 $XP^\prime M^\prime D$ 为等腰梯形，且 $DM^\prime=P^\prime X=AM=DM$．
这表明，点 $M^\prime$ 与 $M$ 重合，进而，点 $P^\prime$ 与 $P$ 重合．
答案
解析
备注
