如图，$\triangle ABC$ 内接于圆 $O$，$P$ 为弧 $BC$ 上一点，点 $K$ 在线段 $AP$ 上，使得 $BK$ 平分 $\angle ABC$．过 $K$、$P$、$C$ 三点的圆 $\Omega$ 与边 $AC$ 交于点 $D$，连接 $BD$ 交圆 $\Omega$ 于点 $E$，连接 $PE$ 并延长与边 $AB$ 交于点 $F$，证明：$\angle ABC=2\angle FCB$．
【难度】
【出处】
2015年全国高中数学联赛（二试）
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $CF$ 与圆 $\Omega$ 交于点 $L$（异于 $C$）．连接 $PB$、$PC$、$BL$、$KL$．
注意此时 $C$、$D$、$L$、$K$、$E$、$P$ 六点均在圆 $\Omega$ 上，结合 $A$、$B$、$P$、$C$ 四点共圆，可知\[\angle FEB=\angle DEP=180^\circ-\angle DCP=\angle ABP=\angle FBP,\]因此 $\triangle FBE\sim\triangle FPB$，因此\[FB^2=FE\cdot FP.\]又由圆幂定理可知，$FE\cdot FP=FL\cdot FC$，所以\[FB^2=FL\cdot FC,\]因此 $\triangle FBL\sim\triangle FCB$．因此\[\angle FLB=\angle FBC=\angle APC=\angle KPC=\angle KLC,\]即 $B$、$K$、$L$ 三点共线．再根据 $\triangle FBL\sim\triangle FCB$ 得\[\angle FCB=\angle FBL=\angle FBK=\dfrac 12\angle ABC,\]即 $\angle ABC=2\angle FCB$．
注意此时 $C$、$D$、$L$、$K$、$E$、$P$ 六点均在圆 $\Omega$ 上，结合 $A$、$B$、$P$、$C$ 四点共圆，可知\[\angle FEB=\angle DEP=180^\circ-\angle DCP=\angle ABP=\angle FBP,\]因此 $\triangle FBE\sim\triangle FPB$，因此\[FB^2=FE\cdot FP.\]又由圆幂定理可知，$FE\cdot FP=FL\cdot FC$，所以\[FB^2=FL\cdot FC,\]因此 $\triangle FBL\sim\triangle FCB$．因此\[\angle FLB=\angle FBC=\angle APC=\angle KPC=\angle KLC,\]即 $B$、$K$、$L$ 三点共线．再根据 $\triangle FBL\sim\triangle FCB$ 得\[\angle FCB=\angle FBL=\angle FBK=\dfrac 12\angle ABC,\]即 $\angle ABC=2\angle FCB$．
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