题目 如图，在锐角 $\triangle ABC$ 中，$D,E$ 是边 $BC$ 上的点，$\triangle ABC,\triangle ABD,\triangle ADC$ 的外心分别为 $O,P,Q$．证明：<br><img src="/static/images/49b90be56de4b3c38281692e46ad767c.png" class="img-responsive" /> 问题1 $\triangle APQ\sim\triangle ABC$． 答案1 略 解析1 如图，连结 $PD,QD$．因为 $P,Q$ 分别为 $\triangle ABD,\triangle ADC$ 的外心，所以 $PQ$ 为线段 $AD$ 的垂直平分线．所以 $\angle APQ=\dfrac{1}{2}\angle APD=\angle ABD=\angle ABC,\angle AQP=\dfrac{1}{2}\angle AQD=\angle ACD=\angle ACB$．故 $\triangle APQ\sim\triangle ABC$．<img src="/static/images/eef82aa73e3821ef62a2759d2f02f2c6.png" class="img-responsive" /> 备注1 问题2 若 $EO\bot PQ$，则 $QO\bot PE$． 答案2 略 解析2 如图，连结 $OA,OB,OP,PB,QC$．延长 $OQ$ 与 $AC$ 相交于点 $F$．由 $O,P,Q$ 分别为 $\triangle ABC,\triangle ABD,\triangle ADC$ 的外心，知 $OP,OQ,PQ$ 分别是线段 $AB,AC,AD$ 的垂直平分线．所以 $\angle APB=\angle APD+\angle BPD=2(\angle ABD+\angle BAD)=2\angle ADC=\angle AQC$．又 $\angle OBP=\angle OAP,\angle AQF=\dfrac{1}{2}\angle AQC=\dfrac{1}{2}\angle APB=\angle APBO$．所以 $A,P,O,Q$ 四点共圆，$\angle OAP=\angle OQP$．又 $EO\bot PQ,DA\bot PQ$，所以 $EO\parallel DA$，$\angle OEC=\angle ADC=\dfrac{1}{2}\angle APB=\angle BPO$．所以 $P,B,E,Q$ 四点共圆，$\angle OEP=\angle OBP$．设 $EO,QO$ 的延长线分别与 $PQ,PE$ 相交于 $M,N$，则 $\angle OEP=\angle OBP=\angle OAP=\angle OQP$．故 $M,N,E,Q$ 四点共圆．又 $EO\bot PQ$，所以 $\angle QNE=\angle QME=90^\circ$．故 $QO\bot PE$． 备注2