如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle C=90^\circ,\angle ABC$ 的平分线交 $AC$ 于点 $E$，过点 $E$ 作 $BE$ 的垂线交 $AB$ 于点 $F$，$\odot O$ 是 $\triangle BEF$ 的外接圆且 $\odot O$ 交 $BC$ 于点 $D$．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛黑龙江省预赛
【标注】
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求证：$AC$ 是 $\odot O$ 的切线；标注答案略解析如图 ①，连结 $OE$．因为 $BE$ 平分 $\angle ABC$，所以 $\angle CBE=\angle OBE$，又 $OB=OE$，所以 $\angle OBE=\angle OEB$，所以 $\angle OEB=\angle CBE$，故 $OE\parallel BC$，所以 $\angle AEO=\angle C=90^\circ$，所以 $AC$ 是 $\odot O$ 的切线．
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过点 $E$ 作 $EH\bot AB$，垂足为 $H$，求证：$CD=HF$标注答案略解析如图 ②，连结 $DE$．因为 $\angle CBE=\angle OBE,EC\bot BC$ 与 $C$，$EH\bot AB$ 于 $H$，所以 $EC=EH$．又 $\angle CDE+\angle BDE=180^\circ,\angle HFE+\angle BDE=180^\circ$，所以 $\angle CDE=\angle HFE$．在 $\triangle CDE$ 与 $\triangle HFE$ 中，$\begin{cases}
\angle CDE=\angle HFE\\
\angle C=\angle EHF=90^\circ\\
EC=EH\\
\end{cases}$ 所以 $\triangle CDE\cong\triangle HFE(AAS)$，故 $CD=HF$．
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在（2）的条件下，若 $CD=1,EH=3$，求 $BF$ 及 $AF$ 的长．标注答案$BF=10,AF=\dfrac{5}{4}$解析由（2）得，$CD=HF$．又 $CD=1$，所以 $HF=1$，在 $Rt\triangle HFE$ 中，$EF=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$．因为 $EF\bot BE$，所以 $\angle BEF=90^\circ$，所以 $\angle EHF=\angle BEF=90 ^\circ$．又 $\angle EFH=\angle BFE$，故 $\triangle EHF\sim \triangle BEF$．所以 $\dfrac{EF}{BF}=\dfrac{HF}{EF}$，即 $\dfrac{\sqrt{10}}{BF}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}$，所以 $BF=10$．又 $OE=\dfrac{1}{2}BF=5,OH=5-1=4$，所以在 $Rt\triangle OHE$ 中，$\cos\angle EOA=\dfrac{4}{5}$，所以在 $Rt\triangle EOA$ 中，$\cos\angle EOA=\dfrac{OE}{OA}=\dfrac{4}{5}$，故 $\dfrac{5}{OA}=\dfrac{4}{5}$，有 $OA=\dfrac{25}{4}$，所以 $AF=\dfrac{25}{4}-5=\dfrac{5}{4}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
