已知梯形 $ABCD$，边 $CD,AB$ 分别为上，下底，且 $\angle ADC=90^\circ$，对角线 $AC\bot BD$，过 $D$ 作 $DE\bot BC$ 于点 $E$．证明：
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛贵州省预赛
【标注】
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$AC^2=CD^2+AB\cdot CD$标注答案略解析由于 $\angle ADC=90^\circ$，故 $AC^2=CD^2+AD^2$．因为对角线 $AC\bot BD$，所以 $\angle DCA=90^\circ-\angle BDC=\angle ADB$．而 $\angle ADC=90^\circ=\angle BAD$，则 $\triangle ACD\sim \triangle BDA$，故 $\dfrac{AD}{CD}=\dfrac{AB}{AD}\Rightarrow AD^2=AB\cdot CD$．
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$\dfrac{AE}{BE}=\dfrac{AC\cdot CD}{AC^2-CD^2}$标注答案略解析由于 $\angle ADC=90^\circ$，故 $AC^2-CD^2=AD^2$，所以 $\dfrac{AC\cdot CD}{A{{C}^{2}}-C{{D}^{2}}}=\dfrac{AC\cdot CD}{A{{D}^{2}}}=\dfrac{AC\cdot CD}{AB\cdot CD}=\dfrac{AC}{AB}$．因为 $\angle BAD+\angle DEB=180^\circ$，所以 $A,B,E,D$ 四点公园，如图所示，故 $\angle AEB=\angle ADB$．由于 $\angle BAC=90^\circ-\angle, CAD=\angle ADB$，且 $\angle AEB=\angle BAC,\angle EBA=\angle ABC$，则 $\triangle ABE\sim\triangle CBA$，故 $\dfrac{AE}{BE}=\dfrac{CA}{AB}$．所以 $\dfrac{AE}{BE}=\dfrac{AC\cdot CD}{AC^2-CD^2}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
