在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle A=90^\circ,\angle C=30^\circ$．过点 $A$ 的圆 $\Gamma$ 与边 $BC$ 切于中点 $K$，圆 $\Gamma$ 与边 $AC,\triangle ABC$ 的外接圆分别交于点 $N,M$．证明：$MN \perp BC$．
【难度】
【出处】
2014年第一届伊朗几何奥林匹克
【标注】
【答案】
略
【解析】
如图，由条件知 $AK=KC$．
则 $\angle KAC=\angle NKC=30^\circ\Rightarrow\angle ANK=\angle NKC+\angle ACB=60^\circ$．
因为 $A,K,N,M$ 四点共圆，所以 $\angle KMN=\angle KAN=30^\circ,\angle AMK=\angle ANK=60^\circ$．
显然，$K$ 为 $\triangle ABC$ 的外心．
因此，$KM=KC=AK$．
又 $\angle AMK=60^\circ$，于是，$\triangle AKM$ 为等边三角形，$\angle AKM=60^\circ$．
又 $\angle AKB=60^\circ$，则 $\angle MKC=60^\circ$．
再结合 $\angle KMN=30^\circ$，从而，$MN\perp BC$．
则 $\angle KAC=\angle NKC=30^\circ\Rightarrow\angle ANK=\angle NKC+\angle ACB=60^\circ$．因为 $A,K,N,M$ 四点共圆，所以 $\angle KMN=\angle KAN=30^\circ,\angle AMK=\angle ANK=60^\circ$．
显然，$K$ 为 $\triangle ABC$ 的外心．
因此，$KM=KC=AK$．
又 $\angle AMK=60^\circ$，于是，$\triangle AKM$ 为等边三角形，$\angle AKM=60^\circ$．
又 $\angle AKB=60^\circ$，则 $\angle MKC=60^\circ$．
再结合 $\angle KMN=30^\circ$，从而，$MN\perp BC$．
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解析
备注
