已知 $X,Y$ 为 $\triangle ABC$ 的外接圆弧 $BC$（不含点 $A$）上的两点，满足 $\angle BAX=\angle CAY$．设 $M$ 为线段 $AX$ 的中点．证明：$BM+CM>AY$．
【难度】
【出处】
2014年第一届伊朗几何奥林匹克
【标注】
【答案】
略
【解析】
如图，设 $O$ 为 $\triangle ABC$ 的外接圆圆心．
则 $OM\perp AX$．过点 $B$ 作 $OM$ 的垂线，与 $\triangle ABC$ 外接圆的另一个交点为 $Z$．
因为 $OM\perp BZ$，所以，$OM$ 为线段 $BZ$ 的垂直平分线．
于是，$MZ=MB$．由三角不等式知
$BM+MC=ZM+MC>CZ$．
又 $BZ\parallel AX$，故 $\overparen{AZ}=\overparen{BX}=\overparen{CY}$．
因此，$\overparen{ZAC}=\overparen{YCA}$，这表明，$CZ=AY$．
从而，$BM+CM>CZ=AY$．
则 $OM\perp AX$．过点 $B$ 作 $OM$ 的垂线，与 $\triangle ABC$ 外接圆的另一个交点为 $Z$．
因为 $OM\perp BZ$，所以，$OM$ 为线段 $BZ$ 的垂直平分线．于是，$MZ=MB$．由三角不等式知
$BM+MC=ZM+MC>CZ$．
又 $BZ\parallel AX$，故 $\overparen{AZ}=\overparen{BX}=\overparen{CY}$．
因此，$\overparen{ZAC}=\overparen{YCA}$，这表明，$CZ=AY$．
从而，$BM+CM>CZ=AY$．
答案
解析
备注
