已知 $\triangle ABC$ 的内切圆与边 $BC,AC,AB$ 分别切于点 $D,E,F$，过点 $F,E$ 作 $BC$ 的垂线，垂足分别为 $K,L$，这两条垂线与内切圆的第二个交点分别为 $M,N$．证明：$\dfrac{S_{\triangle BMD}}{S_{\triangle CND}}=\dfrac{DK}{DL}$．
【难度】
【出处】
2014年第一届伊朗几何奥林匹克
【标注】
【答案】
略
【解析】
如图，设 $I$ 为 $\triangle ABC$ 的内切圆圆心．
显然，$\angle BFK=90^\circ-\angle ABC,\angle BFD=90^\circ-\dfrac{1}{2}\angle ABC$．
则 $\angle DFM=\angle BFD-\angle BFK=\dfrac{1}{2}\angle ABC$．
记 $r$ 为 $\triangle ABC$ 的内切圆半径．
由弦切角定理知
$\begin{aligned}
&\angle DFM=\angle MDK\Rightarrow \angle MDK=\dfrac{1}{2}\angle ABC\\
&\Rightarrow\triangle MDK\sim\triangle BID\Rightarrow\dfrac{MK}{DK}=\dfrac{r}{BD}\\
&\Rightarrow r=\dfrac{MK\cdot BD}{DK}
\end{aligned}$
类似地 $r=\dfrac{NL\cdot CD}{DL}$．
故 $\dfrac{MK\cdot BD}{DK}=\dfrac{NL\cdot CD}{DL}\Rightarrow\dfrac{S_{\triangle BMD}}{S_{\triangle CND}}=\dfrac{MK\cdot BD}{NL\cdot CD}=\dfrac{DK}{DL}$．
显然，$\angle BFK=90^\circ-\angle ABC,\angle BFD=90^\circ-\dfrac{1}{2}\angle ABC$．则 $\angle DFM=\angle BFD-\angle BFK=\dfrac{1}{2}\angle ABC$．
记 $r$ 为 $\triangle ABC$ 的内切圆半径．
由弦切角定理知
$\begin{aligned}
&\angle DFM=\angle MDK\Rightarrow \angle MDK=\dfrac{1}{2}\angle ABC\\
&\Rightarrow\triangle MDK\sim\triangle BID\Rightarrow\dfrac{MK}{DK}=\dfrac{r}{BD}\\
&\Rightarrow r=\dfrac{MK\cdot BD}{DK}
\end{aligned}$
类似地 $r=\dfrac{NL\cdot CD}{DL}$．
故 $\dfrac{MK\cdot BD}{DK}=\dfrac{NL\cdot CD}{DL}\Rightarrow\dfrac{S_{\triangle BMD}}{S_{\triangle CND}}=\dfrac{MK\cdot BD}{NL\cdot CD}=\dfrac{DK}{DL}$．
答案
解析
备注
