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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
25408 59095358060a05000970b3c3 高中 解答题 高中习题 在有理数范围内分解因式：$x^{12}+x^9+x^6+x^3+1$． 2022-04-17 20:39:45
24026 59ba35d398483e0009c73190 高中 解答题 高中习题 求证：$\tan ^21^\circ+\tan ^23^\circ+\tan ^25^\circ+\cdots+\tan ^287^\circ+\tan ^289^\circ=4005$． 2022-04-17 20:57:32
24005 59ba35d398483e0009c7310a 高中 解答题 高中习题 已知 $x+\dfrac 1x=\dfrac{\sqrt 5+1}2=2\cos\dfrac {\pi}5$，求 $x^{2000}+\dfrac{1}{x^{2000}}$ 的值． 2022-04-17 20:44:32
23842 5909559b060a05000b3d2001 高中 解答题 高中习题 设 $a\geqslant 0$，在复数集 $\mathbb C$ 中解方程：$z^2+2|z|=a$． 2022-04-17 20:19:31
23086 590be3bd6cddca0008611067 高中 解答题 高中习题 已知实数列 $\{a_n\}$、$\{b_n\}$ 的各项均不为 $0$，且$$\begin{cases}a_n=a_{n-1}\cos \theta-b_{n-1}\sin \theta,\\b_n=a_{n-1}\sin \theta+b_{n-1}\cos \theta,\end{cases}$$$a_1=1$，$b_1=\tan \theta$，其中 $\theta$ 为已知常数，求数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 的通项公式． 2022-04-17 20:19:24
22613 59ba35d398483e0009c73192 高中 解答题 高中习题 求证：$\tan ^21^\circ+\tan ^22^\circ+\tan ^23^\circ+\cdots+\tan ^288^\circ+\tan ^289^\circ=\dfrac{15931}{3}$． 2022-04-17 20:52:19
22484 59bba5bc8b403a0007a89022 高中 解答题 高中习题 若 $\triangle ABC$ 的三个顶点对应的复数为 $z_1,z_2,z_3$，且满足 $\dfrac{z_2-z_1}{z_3-z_1}=1+2{\rm i}$，求 $\triangle ABC$ 的面积与其最长边的平方之比． 2022-04-17 20:38:18
21832 597e80afd05b90000b5e3053 高中 解答题 高中习题 求 $\tan 20^\circ+4\sin 20^\circ$ 的值． 2022-04-17 20:39:12
21086 5c6a5ef3210b281db9f4c7e8 高中 解答题 自招竞赛 令 ${{\omega }_{1}}$，${{\omega }_{2}}$，……，${{\omega }_{n}}$ 为复数，如果直线 $l$ 包含点（复数）${{z}_{1}}$，${{z}_{2}}$，…，${{z}_{n}}$，并使得 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}{\left( {{z}_{k}}-{{\omega }_{k}} \right)}=0$，则称 $l$ 为 ${{\omega }_{1}}$，${{\omega }_{2}}$，…，${{\omega }_{n}}$ 的“平均直线”．
对于 ${{\omega }_{1}}=32+170\text{i}$，${{\omega }_{2}}=-7+64\text{i}$，${{\omega }_{3}}=-9+200\text{i}$，${{\omega }_{4}}=1+27\text{i}$，${{\omega }_{5}}=-14+43\text{i}$，有唯一的一条纵轴截距为 $y=3$ 的“平均直线”．
对于 ${{\omega }_{1}}=32+170\text{i}$，${{\omega }_{2}}=-7+64\text{i}$，${{\omega }_{3}}=-9+200\text{i}$，${{\omega }_{4}}=1+27\text{i}$，${{\omega }_{5}}=-14+43\text{i}$，有唯一的一条纵轴截距为 $y=3$ 的“平均直线”，求此直线的斜率．		 2022-04-17 20:45:05
21051 5c6babe8210b281dbaa934c1 高中 解答题 自招竞赛 六边形内接于圆，其中五条边的长为81，第六条边记为 $AB$，长为31，求由 $A$ 引出的三条对角线的长度之和． 2022-04-17 20:25:05
21037 5c6bd2f7210b281db9f4c905 高中 解答题 自招竞赛 考虑复平面中使得 $\frac{z}{40}$ 和 $\frac{40}{\overline{z}}$ 的实部和虚部都在0和1之间（包括0和1）的所有 $z$ 组成的区域 $A$．最接近区域 $A$ 的面积的整数是多少？（如果 $z=x+\text{i}y$，其中 $x$ 和 $y$ 是实数，则 $\overline{z}=x-\text{i}y$ 是 $z$ 的共轭） 2022-04-17 20:18:05
21000 5c6e14c0210b281dbaa935b0 高中 解答题 自招竞赛 对于定实数 $a$，$b$，$c$，$d$，方程 ${{x}^{4}}+a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d=0$ 有四个非实数根，其中两个根的积是 $13+\text{i}$，另两个根的和是 $3+4\text{i}$，其中 $\text{i}=\sqrt{-1}$，求 $b$． 2022-04-17 20:54:04
20967 5c6e5186210b287fc87f58fd 高中 解答题 自招竞赛 设 $v$，$w$ 是方程 ${{z}^{1997}}-1=0$ 的解中任意不相等的两个．令 $\frac{m}{n}$ 是使不等式 $\sqrt{2+\sqrt{3}}\leqslant \left| v+w \right|$ 成立的概率．且 $m$，$n$ 正整数，$\frac{m}{n}$ 是既约分数．求 $m+n$． 2022-04-17 20:36:04
20916 5c78e938210b284290fc2663 高中 解答题 自招竞赛 已知复数 $z$ 满足 $z+\frac{1}{z}=2\cos 3{}^\circ $，求大于 ${{2}^{2000}}+\frac{1}{{{z}^{2000}}}$ 的最小整数． 2022-04-17 20:10:04
20885 5c78f26e210b284290fc269e 高中 解答题 自招竞赛 设满足 ${{z}^{28}}-{{z}^{8}}-1=0$ 及 $\left| z \right|=1$ 的复数共有 $2n$ 个，这些复数都可以写成如下形式 ${{z}_{m}}=\cos {{\theta }_{m}}+\text{i}\sin {{\theta }_{m}}$，其中 $0\leqslant {{\theta }_{1}}<{{\theta }_{2}}<\cdots <{{\theta }_{2n}}<360$，${{\theta }_{i}}$ 以度为单位，求 ${{\theta }_{2}}+{{\theta }_{4}}+\cdots +{{\theta }_{2n}}$． 2022-04-17 20:56:03
20872 5c6fa0a9210b28428f14c919 高中 解答题 自招竞赛 对于所有满足 $z\ne \text{i}$ 的复数 $z$ 都有 $F\left( z \right)=\frac{z+\text{i}}{z-\text{i}}$．对于所有正整数 $n$ 有 ${{z}_{n}}=F\left( {{z}_{n-1}} \right)$．若 ${{z}_{0}}=\frac{1}{137}+\text{i}$，${{z}_{2002}}=a+b\text{i}$，其中 $a$，$b$ 为实数．求 $a+b$ 的值． 2022-04-17 20:48:03
20606 5c8efed5210b286d125ef34d 高中 解答题 自招竞赛 复数 $a\text{,}b\text{,}c$ 是多项式 $P\left( z \right)\text{=}{{z}^{3}}+qz+r$ 的零点且 ${{\left| a \right|}^{2}}+{{\left| b \right|}^{2}}+{{\left| c \right|}^{2}}\text{=}250$ 。 $a\text{,}b\text{,}c$ 对应在复平面的点构成直角三角形，其斜边长为 $h$ 。求 ${{h}^{2}}$ 。 2022-04-17 20:21:01
20559 5c9308cf210b286d074542b6 高中 解答题 自招竞赛 复数 $w\text{,}z$ 满足 $\left| w \right|\text{=}1,\left| z \right|\text{=}10$ 。 $\theta \text{=}\arg \left( \frac{w-z}{z} \right)$ 。 ${{\tan }^{2}}\theta $ 的最大值可以被写作 $\frac{p}{q}$，其中 $p\text{,}q$ 为互质正整数。求 $p+q$ 2022-04-17 20:54:00
20543 5c944b84210b286d125ef57b 高中 解答题 自招竞赛 复数 $z$ 满足 $\left| z \right|\text{=}2014$，复数 $\omega $ 满足 $\frac{1}{z+\omega }\text{=}\frac{1}{z}+\frac{1}{\omega }$，以 $z\text{,}\omega $ 在复平面上对应点为顶点构成多边形 $P$，多边形 $P$ 的面积是 $n\sqrt{3}$，其中 $n$ 为正整数，求 $n$ 模 $1000$ 的值 2022-04-17 20:46:00
20524 5c6a2177210b281dbaa93303 高中 解答题 自招竞赛 设两个复数 $x$，$y$ 的平方和是7，其立方和是10，$x+y$ 可能取的实数值最大的是几？ 2022-04-17 20:35:00
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