已知实数列 $\{a_n\}$、$\{b_n\}$ 的各项均不为 $0$，且$$\begin{cases}a_n=a_{n-1}\cos \theta-b_{n-1}\sin \theta,\\b_n=a_{n-1}\sin \theta+b_{n-1}\cos \theta,\end{cases}$$$a_1=1$，$b_1=\tan \theta$，其中 $\theta$ 为已知常数，求数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 的通项公式．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$a_n=\sec \theta\cdot \cos n\theta$，$b_n=\sec \theta \cdot \sin n\theta$，其中 $n\in\mathbb N^*$
【解析】
观察已知条件，联想到复数的运算：$$a_n+b_n{\rm i}=\left(a_{n-1}+b_{n-1}{\rm i}\right)\cdot\left(\cos\theta+{\rm i}\sin\theta\right),$$将 $a_n$ 和 $b_n$ 分别看作复数 $z_n$ 的实部和虚部，即设 $z_n=a_n+b_n{\rm i}(n\in \mathbb N^*)$，则已知中的两个递推式可以合并为$$z_n=z_{n-1}\cdot \left(\cos \theta+\mathrm i\sin \theta\right),n\geqslant 2\land n\in\mathbb N^*.$$于是复数数列 $\{z_n\}$ 是以 $z_1=1+\mathrm i\tan \theta$ 为首项，$\cos \theta+\mathrm i\sin \theta$ 为公比的等比数列，易得\[\begin{split}z_n&=(1+\mathrm i\tan \theta)(\cos \theta+\mathrm i\sin \theta)^{n-1}\\&=\sec \theta\cdot (\cos \theta+\mathrm i\sin \theta)\cdot (\cos \theta+\mathrm i\sin \theta)^{n-1}\\&=\sec \theta\cdot (\cos \theta+\mathrm i\sin \theta)^n\\&=\sec\theta\cdot (\cos{ n\theta}+\mathrm i \sin {n\theta})\\&=\sec \theta\cdot \cos {n\theta}+\mathrm i\sec \theta\cdot \sin {n\theta}.\end{split}\]故有 $a_n=\sec \theta\cdot \cos n\theta$，$b_n=\sec \theta \cdot \sin n\theta$，其中 $n\in\mathbb N^*$．
答案
解析
备注
