在有理数范围内分解因式：$x^{12}+x^9+x^6+x^3+1$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$(x^4+x^3+x^2+1)(x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1)$
【解析】
等比数列求和可得\[\begin{split} x^{12}+x^9+x^6+x^3+1&=\dfrac{x^{15}-1}{x^3-1}\\ &=\dfrac{x^5-1}{x-1}\cdot \dfrac{x^{10}+x^5+1}{x^2+x+1}\\ &=(x^4+x^3+x^2+1)(x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1).\end{split}\]方程 $x^{12}+x^{9}+x^{6}+x^{3}+1=0$ 的所有复数根分布如下图．
我们熟知，如果 $\cos\theta$ 是有理数，则 $\cos n\theta$ 亦为有理数，其中 $n\in\mathbb N^*$，因此若 $\cos n\theta$ 不是有理数，那么 $\cos\theta$ 也不是有理数，因此可以按照以下路径推出图中所有角的余弦均不为有理数（$\cos 144^\circ=-\dfrac{\sqrt 5+1}4$）：$$144^\circ\to 72^\circ \to 24^\circ\to 336^\circ\to 168^\circ\to 192^\circ\to 96^\circ\to 48^\circ.$$由于任何共轭的复数根其实部均不为有理数，所以无法在有理数范围内继续分解因式．
综上，题中代数式分解因式的结果为$$(x^4+x^3+x^2+1)(x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1).$$
我们熟知，如果 $\cos\theta$ 是有理数，则 $\cos n\theta$ 亦为有理数，其中 $n\in\mathbb N^*$，因此若 $\cos n\theta$ 不是有理数，那么 $\cos\theta$ 也不是有理数，因此可以按照以下路径推出图中所有角的余弦均不为有理数（$\cos 144^\circ=-\dfrac{\sqrt 5+1}4$）：$$144^\circ\to 72^\circ \to 24^\circ\to 336^\circ\to 168^\circ\to 192^\circ\to 96^\circ\to 48^\circ.$$由于任何共轭的复数根其实部均不为有理数，所以无法在有理数范围内继续分解因式．综上，题中代数式分解因式的结果为$$(x^4+x^3+x^2+1)(x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1).$$
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解析
备注
