设满足 ${{z}^{28}}-{{z}^{8}}-1=0$ 及 $\left| z \right|=1$ 的复数共有 $2n$ 个，这些复数都可以写成如下形式 ${{z}_{m}}=\cos {{\theta }_{m}}+\text{i}\sin {{\theta }_{m}}$，其中 $0\leqslant {{\theta }_{1}}<{{\theta }_{2}}<\cdots <{{\theta }_{2n}}<360$，${{\theta }_{i}}$ 以度为单位，求 ${{\theta }_{2}}+{{\theta }_{4}}+\cdots +{{\theta }_{2n}}$．
【难度】
【出处】
2001年第19届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
840
【解析】
由于 $\left| z \right|=1$，$z=\cos \theta +\text{i}\sin \theta $，其中 $0\leqslant \theta<360$．现在 $\cos 28\theta -\cos 8\theta =1$，$\sin 28\theta -\sin8\theta =0$．由后一个式子得 $28\theta +8\theta =180+360k$，故 $\theta =10k+5$．由第一个式子得到
$-2\sin \frac{28\theta +8\theta }{2}\sin \frac{28\theta -8\theta}{2}=1$，
因此 $\sin 18\theta \sin 10\theta =-\frac{1}{2}$，将 $\theta =10k+5$ 代入得 $\sin \left( 180k+90 \right)\sin \left( 100k+50\right)=-\frac{1}{2}$，即 $\sin \left( 100k+50 \right)={{\left( -1\right)}^{k+1}}\cdot \frac{1}{2}$．当 $k=2m-1$（即 $k$ 为奇数）时，$\sin \left( 200m-50 \right)=\frac{1}{2}$，故 $200m-50\equiv 30$ 或 $150\left( \bmod 360 \right)$，推出 $m\equiv 4$ 或 $1\left( \bmod 9 \right)$，$k\equiv 7$ 或 $1\left( \bmod 18 \right)$，故 $\theta =75$ 或 $ 15$ $\left( \bmod 180 \right)$；当 $k=2m$（即 $k$ 为偶数）时，$\sin \left( 200m+50 \right)=-\frac{1}{2}$，故 $200m+50\equiv 210$ 或 $330\left( \bmod 360 \right)$，推出 $m\equiv 5$ 或 $ 8$ $\left( \bmod 9 \right)$，$k\equiv 10$ 或 $16\left( \bmod 18 \right)$，故 $\theta =105$ 或 $ 165$ $\left( \bmod 180 \right)$．因此 $\theta \equiv \pm 15\left( \bmod 90 \right)$，故 $\displaystyle {{\theta }_{2}}+{{\theta }_{4}}+{{\theta}_{6}}+{{\theta }_{8}}=\sum\limits_{k=1}^{4}{\left( 90k-15 \right)}=840$．
$-2\sin \frac{28\theta +8\theta }{2}\sin \frac{28\theta -8\theta}{2}=1$，
因此 $\sin 18\theta \sin 10\theta =-\frac{1}{2}$，将 $\theta =10k+5$ 代入得 $\sin \left( 180k+90 \right)\sin \left( 100k+50\right)=-\frac{1}{2}$，即 $\sin \left( 100k+50 \right)={{\left( -1\right)}^{k+1}}\cdot \frac{1}{2}$．当 $k=2m-1$（即 $k$ 为奇数）时，$\sin \left( 200m-50 \right)=\frac{1}{2}$，故 $200m-50\equiv 30$ 或 $150\left( \bmod 360 \right)$，推出 $m\equiv 4$ 或 $1\left( \bmod 9 \right)$，$k\equiv 7$ 或 $1\left( \bmod 18 \right)$，故 $\theta =75$ 或 $ 15$ $\left( \bmod 180 \right)$；当 $k=2m$（即 $k$ 为偶数）时，$\sin \left( 200m+50 \right)=-\frac{1}{2}$，故 $200m+50\equiv 210$ 或 $330\left( \bmod 360 \right)$，推出 $m\equiv 5$ 或 $ 8$ $\left( \bmod 9 \right)$，$k\equiv 10$ 或 $16\left( \bmod 18 \right)$，故 $\theta =105$ 或 $ 165$ $\left( \bmod 180 \right)$．因此 $\theta \equiv \pm 15\left( \bmod 90 \right)$，故 $\displaystyle {{\theta }_{2}}+{{\theta }_{4}}+{{\theta}_{6}}+{{\theta }_{8}}=\sum\limits_{k=1}^{4}{\left( 90k-15 \right)}=840$．
答案
解析
备注
