复数 $z$ 满足 $\left| z \right|\text{=}2014$，复数 $\omega $ 满足 $\frac{1}{z+\omega }\text{=}\frac{1}{z}+\frac{1}{\omega }$，以 $z\text{,}\omega $ 在复平面上对应点为顶点构成多边形 $P$，多边形 $P$ 的面积是 $n\sqrt{3}$，其中 $n$ 为正整数，求 $n$ 模 $1000$ 的值
【难度】
【出处】
2014年第32届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
147
【解析】
$\frac{1}{w+z}\text{=}\frac{w+z}{wz}\Rightarrow wz\text{=}{{\left( w+z \right)}^{2}}\Rightarrow{{w}^{2}}+wz+{{z}^{2}}\text{=}0\Rightarrow {{w}^{3}}\text{=}{{z}^{3}}\left(w\ne z \right)$ 。令 $w\text{=}{{r}_{w}}{{e}^{i{{\theta}_{w}}}}\text{,}z\text{=}{{r}_{z}}{{e}^{i{{\theta }_{z}}}}$，我们不妨设 $z$ 在实轴上，则 $z\text{,}w$ 夹角为 ${{120}^{{}^\circ}}$ 。设 $w$ 可能的位置为 ${{W}_{1}}\text{,}{{W}_{2}}$，$z$ 的位置为 $Z$ 。则 ${{W}_{1}}{{W}_{2}}Z$ 是等边三角形，设其边长为 $x$，外接圆半径为 $R$，则面积 $\left[{{W}_{1}}{{W}_{2}}Z\right]\text{=}\frac{{{x}^{2}}\sqrt{3}}{4}\text{=}\frac{{{x}^{3}}}{4R}$ 。于是 $x\text{=}R\sqrt{3}\Rightarrow\left[ {{W}_{1}}{{W}_{2}}Z \right]\text{=}\frac{3\sqrt{3}{{R}^{2}}}{4}$ 。因为 $R=2014$，所以 $n\text{=}\frac{3{{R}^{2}}}{4}\text{=}3\cdot{{1007}^{2}}\equiv 147\left( \bmod 1000 \right)$
答案
解析
备注
