设 $v$，$w$ 是方程 ${{z}^{1997}}-1=0$ 的解中任意不相等的两个．令 $\frac{m}{n}$ 是使不等式 $\sqrt{2+\sqrt{3}}\leqslant \left| v+w \right|$ 成立的概率．且 $m$，$n$ 正整数，$\frac{m}{n}$ 是既约分数．求 $m+n$．
【难度】
【出处】
1997年第15届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
582
【解析】
因为方程 ${{z}^{1997}}-1=0$ 的1997个根对称地分布在复平面上，不失一般性，不妨设 $v=1$，令 $w=\cos \theta +\text{i}\sin \theta \left( -180{}^\circ <\theta<180{}^\circ \right)$．现在必须找出使下式成立的概率：
${{\left|1+w \right|}^{2}}={{\left| \left( 1+\cos \theta \right)+\text{i}\sin \theta \right|}^{2}}=2+2\cos \theta \geqslant 2+\sqrt{3}$，
即等价于 $\cos \theta \geqslant\frac{\sqrt{3}}{2}$．
因此 $\left| \theta \right|\leqslant 30{}^\circ $．因为 $w\ne 1$，所以 $\theta $ 仅有的可能值为 $\theta=\pm \frac{360{}^\circ }{1997}$，$\pm \frac{720{}^\circ }{1997}$，$\pm\frac{1080{}^\circ }{1997}$，…，$\pm \frac{360k{}^\circ }{1997}$，其中 $k=\left[\frac{1997}{12} \right]=166$．因此，概率为 $\frac{2\times166}{1996}=\frac{83}{499}$，$m+n=83+499=582$．
${{\left|1+w \right|}^{2}}={{\left| \left( 1+\cos \theta \right)+\text{i}\sin \theta \right|}^{2}}=2+2\cos \theta \geqslant 2+\sqrt{3}$，
即等价于 $\cos \theta \geqslant\frac{\sqrt{3}}{2}$．
因此 $\left| \theta \right|\leqslant 30{}^\circ $．因为 $w\ne 1$，所以 $\theta $ 仅有的可能值为 $\theta=\pm \frac{360{}^\circ }{1997}$，$\pm \frac{720{}^\circ }{1997}$，$\pm\frac{1080{}^\circ }{1997}$，…，$\pm \frac{360k{}^\circ }{1997}$，其中 $k=\left[\frac{1997}{12} \right]=166$．因此，概率为 $\frac{2\times166}{1996}=\frac{83}{499}$，$m+n=83+499=582$．
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备注
