若 $\triangle ABC$ 的三个顶点对应的复数为 $z_1,z_2,z_3$，且满足 $\dfrac{z_2-z_1}{z_3-z_1}=1+2{\rm i}$，求 $\triangle ABC$ 的面积与其最长边的平方之比．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac 15$
【解析】
根据题意，$\overrightarrow{AC}$ 逆时针旋转 $\arctan 2$ 角且长度变为原来的 $\sqrt 5$ 倍后得到 $\overrightarrow{AB}$．不妨设 $AC=1$，则 $AB=\sqrt 5$，根据余弦定理\[\begin{split}BC&=\sqrt{AC^2+AB^2-2\cdot AC\cdot AB\cdot \cos\angle BAC}\\
&=\sqrt{1^2+\left(\sqrt 5\right)^2-2\cdot 1\cdot \sqrt 5\cdot \cos\arctan 2}\\
&=2,\end{split}\]因此所求比值为 $\dfrac 15$．
&=\sqrt{1^2+\left(\sqrt 5\right)^2-2\cdot 1\cdot \sqrt 5\cdot \cos\arctan 2}\\
&=2,\end{split}\]因此所求比值为 $\dfrac 15$．
答案
解析
备注
