已知 $x+\dfrac 1x=\dfrac{\sqrt 5+1}2=2\cos\dfrac {\pi}5$，求 $x^{2000}+\dfrac{1}{x^{2000}}$ 的值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$2$
【解析】
设 $a_n=x^n+\dfrac{1}{x^n}$，$n\in\mathbb N^*$，则有\[a_{n+2}=a_{n+1}\cdot a_1-a_n,\]对应的特征方程为\[x^2-\dfrac{\sqrt 5+1}2x+1=0,\]因为 $\dfrac {1+\sqrt 5}2=2\cos\dfrac {\pi}5$，于是其特征根为 $\cos \dfrac{\pi}5\pm {\rm i}\sin\dfrac{\pi}5$．进而可得\[a_n=\left(\cos \dfrac{\pi}5+{\rm i}\sin\dfrac{\pi}5\right)^n+\left(\cos \dfrac{\pi}5- {\rm i}\sin\dfrac{\pi}5\right)^n=2\cos\dfrac{n\pi}5,\]因此原式的值为\[a_{2000}=2\cos\left(400\pi\right)=2.\]
答案
解析
备注
