复数 $w\text{,}z$ 满足 $\left| w \right|\text{=}1,\left| z \right|\text{=}10$ 。 $\theta \text{=}\arg \left( \frac{w-z}{z} \right)$ 。 ${{\tan }^{2}}\theta $ 的最大值可以被写作 $\frac{p}{q}$，其中 $p\text{,}q$ 为互质正整数。求 $p+q$
【难度】
【出处】
2014年第32届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
100
【解析】
令 $w\text{=}cis\left( \alpha \right)\text{,}z\text{=}10cis\left(\beta \right)$ 。则 $\frac{w-z}{z}\text{=}\frac{cis\left(\alpha \right)-10cis\left( \beta \right)}{10cis\beta }\text{=}\frac{\left(cis\left( \alpha \right)-10cis\left(\beta \right) \right)\cdot cis\left(-\beta \right)}{10cis\beta \cdot cis\left( -\beta \right)}\text{=}\frac{1}{10}cis\left(\alpha -\beta \right)-1$ 。 所以 $\frac{w-z}{z}\text{=}\frac{1}{10}\cos \left( \alpha-\beta \right)+\frac{1}{10}i\sin \left(\alpha -\beta \right)-1$ 。 $\tan\theta \text{=}\frac{\frac{1}{10}\sin \left( \alpha -\beta \right)}{\frac{1}{10}\cos \left( \alpha-\beta \right)-1}\text{=}\frac{\sin x}{\cos x-10}$ 。为求最大值，等式右边关于 $x$ 求导数，$\frac{d}{dx}\left( \frac{\sin x}{\cos x-10}\right)\text{=}\frac{1-10\cos x}{{{\left( \cos x-10 \right)}^{2}}}$ 。则当 $\cos x\text{=}\frac{1}{10}$ 取到最大值。因此 $\sin x\text{=}\pm \frac{\sqrt{99}}{10}$，$\tan\theta \text{=}\pm \frac{\sqrt{99}}{99}$ 所以 ${{\tan }^{2}}\theta $ 最大值为 $\frac{1}{99}$ 。所求值为 $1+99\text{=}100$
答案
解析
备注
