求 $\tan 20^\circ+4\sin 20^\circ$ 的值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\sqrt 3$
【解析】
设 $x=\cos 20^\circ+{\rm i}\sin 20^\circ$，则$$\cos 20^\circ=\dfrac{x+\bar x}2=\dfrac{x^2+1}{2x},\\\sin 20^\circ=\dfrac{x-\bar x}{2{\rm i}}=\dfrac{x^2-1}{2x{\rm i}},$$且满足$$x^3=\dfrac 12+\dfrac{\sqrt 3}{2}{\rm i},$$代入计算可得\[\begin{split}\tan 20^\circ+4\sin 20^\circ &=\dfrac{x^2-1}{\left(x^2+1\right){\rm i}}+\dfrac{2\left(x^2-1\right)}{x{\rm i}}\\
&=\dfrac{x^3-x+2x^4-2}{\left(x^3+x\right){\rm i}}\\
&=\dfrac{\dfrac 12+\dfrac{\sqrt 3}2{\rm i}-x+x+\dfrac{\sqrt 3}2x{\rm i}-2}{\left(\dfrac 12+\dfrac{\sqrt 3}2{\rm i}+x\right){\rm i}}\\
&=\sqrt 3.\end{split}\]
&=\dfrac{x^3-x+2x^4-2}{\left(x^3+x\right){\rm i}}\\
&=\dfrac{\dfrac 12+\dfrac{\sqrt 3}2{\rm i}-x+x+\dfrac{\sqrt 3}2x{\rm i}-2}{\left(\dfrac 12+\dfrac{\sqrt 3}2{\rm i}+x\right){\rm i}}\\
&=\sqrt 3.\end{split}\]
答案
解析
备注
