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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
7786 59113bf9e020e7000a79882a 高中 填空题 高中习题 已知函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上可导，其导函数记作 $f'(x)$，$f(0)=-2$，且 $f(x+\pi)=-\dfrac 12f(x)$．当 $x\in (0,\pi)$ 且 $x\ne\dfrac{\pi}{2}$ 时，$$f'(x)\cdot \cos 2x>f(x)\cdot \sin 2x-f'(x).$$若方程 $f(x)+k_n\sec x=0$ 在 $[0,+\infty)$ 上有 $n$ 个解，则数列 $\left\{\dfrac{n}{k_{2n}}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 ． 2022-04-16 21:58:53
7747 5925b1b8ee79c200093397a5 高中 填空题 高中习题 设关于 $x$ 的方程 $\sin^2 x+\cos x+a=0$ 在实数范围内有解，则实数 $a$ 的取值范围是 ． 2022-04-16 21:39:53
7745 59266f66ee79c2000759a9af 高中 填空题 高中习题 对于任意两个正整数，定义运算（用 $ \oplus $ 表示运算符号）：
① 当 $m$，$n$ 都是正偶数或都是正奇数时，$m \oplus n = m + n$；
② 当 $m$，$n$ 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，$m \oplus n = m \times n$．
例如 $4 \oplus 6 = 4 + 6 = 10$，$3 \oplus 7 = 3 + 7 = 10$，$3 \oplus 4 = 3 \times 4 = 12$．
在上述定义中，集合 $M = \left\{ {\left( {a,b} \right)} \right. \mid a \left. { \oplus b = 12,a,b \in {{\mathbb{N}}^*}} \right\}$ 的元素有  个．		 2022-04-16 21:38:53
7744 59266fc2ee79c2000a59dc0d 高中 填空题 高中习题 规定记号“$\otimes$”表示一种运算，即 $a\otimes b=\sqrt {ab}+a+b$，其中 $a$，$b$ 均为正实数．若 $1\otimes k=3$，则 $k$ 的值为 ，此时函数 $f(x)=\dfrac {k \otimes x}{\sqrt x}$ 的最小值为 ． 2022-04-16 21:38:53
7743 5926700eee79c2000759a9b3 高中 填空题 高中习题 给定集合 $A$，若对于任意 $ a,b \in A$，有 $ a+b \in A$，且 $ a-b \in A$，则称集合 $A$ 为闭集合，给出如下四个结论：
① 集合 $A=\{-4,-2,0,2,4\}$ 为闭集合；
② 集合 $A=\{n\mid n=3k, k \in \mathbb Z\}$ 为闭集合；
③ 若集合 $A_1,A_2$ 为闭集合，则 $A_1 \cup A_2$ 为闭集合；
④ 若集合 $A_1,A_2$ 为闭集合，且 $A_1$、$A_2$ 均为 $ \mathbb R$ 的真子集，则存在 $c\in \mathbb R$，使得 $c \not \in \left( A_1 \cup A_2\right) $．
其中正确结论的序号是 ．		 2022-04-16 21:37:53
7741 59267239ee79c2000a59dc14 高中 填空题 高中习题 定义映射 $f:A\mapsto B$，其中 $A=\left\{\left(m,n\right) \mid m,n\in \mathbb R\right\}$，$B=\mathbb R$，已知对所有的有序正整数对 $\left(m,n\right)$ 满足下述条件：
① $f\left(m,1\right)=1$；
② 若 $n>m$，$f\left(m,n\right)=0$；
③ $f\left(m+1,n\right)=n\left[f\left(m,n\right)+f\left(m,n-1\right)\right]$，
则 $f\left(2,2\right)=$  ，$f\left(n,2\right)=$  ．		 2022-04-16 21:36:53
7740 592672daee79c20009339812 高中 填空题 高中习题 设 $V$ 是已知平面 $M$ 上所有向量的集合，对于映射 $f:V \mapsto V,{\bf a} \in V$，记 ${\bf a} $ 的象为 $f\left( {{\bf a} } \right)$．若映射 $f:V \mapsto V$ 满足：对所有 ${\bf a} ,{\bf b} \in V$ 及任意实数 $\lambda,\mu $ 都有 $f\left( {\lambda {\bf a} + \mu {\bf b} } \right) = \lambda f\left( {{\bf a} } \right) + \mu f\left( {{\bf b} } \right)$，则 $f$ 称为平面 $M$ 上的线性变换．现有下列命题：
① 设 $f$ 是平面 $M$ 上的线性变换，则 $f\left( {\bf 0 } \right) = \bf 0 $；
② 对 ${\bf a} \in V$，设 $f\left( {{\bf a} } \right) = 2{\bf a} $，则 $f$ 是平面 $M$ 上的线性变换；
③ 若 ${\bf e} $ 是平面 $M$ 上的单位向量，对 ${\bf a} \in V$，设 $f\left( {{\bf a} } \right) = {\bf a} - {\bf e} $，则 $f$ 是平面 $M$ 上的线性变换；
④ 设 $f$ 是平面 $M$ 上的线性变换，${\bf a} $，${\bf b} \in V$，若 ${\bf a} $，${\bf b} $ 共线，则 $f\left( {{\bf a} } \right)$，$f\left( {{\bf b} } \right)$ 也共线．
其中真命题是 ．（写出所有真命题的序号）		 2022-04-16 21:35:53
7739 5926734bee79c2000874a11e 高中 填空题 高考真题 设 $V$ 是全体平面向量构成的集合，若映射 $f:V \to {\mathbb{R}}$ 满足：对任意向量 ${\bf a} = \left({x_1},{y_1}\right) \in V,$ ${\bf b} = \left({x_2},{y_2}\right) \in V$，以及任意 $\lambda \in {\mathbb{R}}$，均有 $f\left(\lambda {\bf a} + \left(1 - \lambda \right){\bf b} \right) = \lambda f\left({\bf a} \right) + \left(1 - \lambda \right)f\left({\bf b} \right)$，则称映射 $f$ 具有性质 $P$．现给出如下映射：
① ${f_1}:V \mapsto {\mathbb{R}},{f_1}\left({\bf m} \right) = x - y,{\bf m} = \left(x,y\right) \in V$；
② ${f_2}:V \mapsto {\mathbb{R}}, {f_2}\left({\bf m} \right) = {x^2} + y,{\bf m} = \left(x,y\right) \in V$；
③ ${f_3}:V \mapsto {\mathbb{R}}, {f_3}\left({\bf m} \right) = x + y + 1,{\bf m} = \left(x,y\right) \in V$．
其中，具有性质 $P$ 的映射的序号为  ．（写出所有具有性质 $P$ 的映射的序号）		 2022-04-16 21:35:53
7736 59267788ee79c2000933981e 高中 填空题 高中习题 用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，若函数 $y=kx-[x]$ 恰好有三个零点，则实数 $k$ 的取值范围是 ． 2022-04-16 21:34:53
7735 59267827ee79c20009339822 高中 填空题 高中习题 记 $[x]$ 为不超过 $x$ 的最大整数，如 $[-0.2]=-1$，$[4.7]=4$．对于函数 $f(x)=\dfrac {[x]}{x}$，下列命题中真命题有 ．
① $f(x)$ 是周期为 $1$ 的函数；
② $\forall x \in \mathbb Z$，$f\left(x+\dfrac 12\right)+f\left(-x-\dfrac 12\right)=2$；
③ $f(x)$ 在每个形如 $(k,k+1)$，$k\in \mathbb N^*$ 的区间上均单调递减，在每个形如 $(-k,-k+1)$，$k\in \mathbb N^*$ 的区间上均单调递增；
④ $f(x)$ 的值域为 $[0,+\infty)$．		 2022-04-16 21:34:53
7734 592678d6ee79c2000874a12a 高中 填空题 高中习题 函数 $f\left( x \right)$ 的定义域为 $A$，若 ${x_1} , {x_2} \in A$ 且 $f\left( {x_1} \right) = f\left( {x_2} \right)$ 时总有 ${x_1} = {x_2}$，则称 $f\left( x \right)$ 为单函数．例如，函数 $f\left( x \right) = 2x + 1\left( {x \in {\mathbb{R}}} \right)$ 是单函数．下列命题：
① 函数 $f\left( x \right) = {x^2}\left( {x \in {\mathbb{R}}} \right)$ 是单函数；
② 若 $f\left( x \right)$ 为单函数，${x_1} , {x_2} \in A$ 且 ${x_1} \ne {x_2}$，则 $f\left( {x_1} \right) \ne f\left( {x_2} \right)$；
③ 若 $f:A$ $ \to $ $B$ 为单函数，则对于任意 $b \in B$，它至多有一个原象；
④ 函数 $f\left( x \right)$ 在某区间上具有单调性，则 $f\left( x \right)$ 一定是单函数．
其中的真命题是  ．（写出所有真命题的编号）		 2022-04-16 21:33:53
7733 59267900ee79c2000874a12d 高中 填空题 高中习题 定义方程 $f(x)=f'(x)$ 的实数根 $x_0$ 叫做函数 $f(x)$ 的“新驻点”，如果函数 $g(x)=x$，$h(x)=\ln {(x+1)}$，$\varphi (x)=\cos x$（$x\in \left(\dfrac {\pi}{2},\pi\right)$）的“新驻点”分别为 $\alpha,\beta,\gamma$，那么 $\alpha,\beta,\gamma$ 的大小关系是  ． 2022-04-16 21:33:53
7730 59267a97ee79c2000874a137 高中 填空题 高中习题 设函数 $f\left(x\right)$ 的定义域为 $D$，若存在非零实数 $l$ 使得对于任意 $x \in M\left(M \subseteq D\right)$，有 $x + l \in D$，且 $f\left(x + l\right) \geqslant f\left(x\right)$，则称 $f\left(x\right)$ 为 $M$ 上的 $l$ 高调函数．
$(1)$ 如果定义域为 $\left[ - 1, + \infty \right)$ 的函数 $f\left(x\right) = {x^2}$ 为 $\left[ - 1, + \infty \right)$ 上的 $m$ 高调函数，那么实数 $m$ 的取值范围是  ．
$(2)$ 如果定义域为 $\mathbb R$ 的函数 $f\left(x\right)$ 是奇函数，当 $x \geqslant 0$ 时，$f\left(x\right) = |x - {a^2}| - {a^2}$，且 $f\left(x\right)$ 为 $\mathbb R$ 上的 $4$ 高调函数，那么实数 $a$ 的取值范围是  ．		 2022-04-16 21:30:53
7729 59267b9fee79c2000a59dc2e 高中 填空题 高中习题 设函数 $f(x)$ 的定义域为 $ {\mathbb{R}}$，若存在与 $x$ 无关的正常数 $M$，使 $|f(x)|\leqslant M|x|$ 对一切实数 $x$ 均成立，则称 $f(x)$ 为有界泛函．在函数：① $f\left(x\right) = -5x$；② $f\left(x\right) = {x^2}$；③ $f\left(x\right) = \sin^2 x $；④ $f\left(x\right) = \left(\dfrac 12\right)^x $；⑤ $f\left(x\right)=x \cos x$ 中，属于有界泛函的有  （填上所有正确的序号）． 2022-04-16 21:29:53
7727 59267ce8ee79c2000a59dc36 高中 填空题 高考真题 已知函数 $f\left(x\right)$ 满足：$f\left(1\right) = \dfrac{1}{4}$，$4f\left(x\right)f\left(y\right) = f\left(x + y\right) + f\left(x - y\right)\left(x,y \in {\mathbb{R}}\right)$，则 $f\left(2010\right) = $  ． 2022-04-16 21:28:53
7726 59267d3dee79c2000933983b 高中 填空题 高中习题 已知函数 $f\left(x\right) = \sin \dfrac{\mathrm \pi }{2}x$，任取 $t \in {\mathbb{R}}$，定义集合：$$A_t=\left\{y\mid y=f\left(x\right),\sqrt{(t-x)^2+(f(t)-f(x))^2}\leqslant \sqrt 2\right\}.$$设 ${M_t}$，${m_t}$ 分别表示集合 ${A_t}$ 中元素的最大值和最小值，记 $h\left(t\right) = {M_t} - {m_t}$．则
$(1)$ 函数 $h\left(t\right)$ 的最大值是 ；
$(2)$ 函数 $h\left(t\right)$ 的单调递增区间为 ．		 2022-04-16 21:27:53
7725 59267d7aee79c2000933983e 高中 填空题 高中习题 已知实数 $a>0$，$f(x)=\begin{cases}x^2-2ax,x \leqslant 1,\\ \log_{\frac 12}x,x>1.\end{cases}$ 若方程 $f(x)=-\dfrac 34a^2$ 有且仅有两个不等实根，且较大实根大于 $2$，则实数 $a$ 的取值范围是  ． 2022-04-16 21:27:53
7723 59267e5dee79c2000874a148 高中 填空题 高中习题 设向量 $\overrightarrow a=\left(a_1,a_2\right)$，$\overrightarrow b=\left(b_1,b_2\right)$，定义一种向量积：$$\overrightarrow a\otimes \overrightarrow b=\left(a_1,a_2\right)\otimes \left(b_1,b_2\right)=\left(a_1b_1,a_2b_2\right).$$已知 $\overrightarrow m=\left(\dfrac 1 2 ,3\right)$，$\overrightarrow n=\left(\dfrac {\pi} 6 ,0\right)$，点 $P$ 在 $y=\sin x$ 的图象上运动，点 $Q$ 在 $y=f\left(x\right)$ 的图象上运动，且满足 $\overrightarrow {OQ}=\overrightarrow m\otimes \overrightarrow {OP}+\overrightarrow n$（其中 $O$ 为坐标原点），则 $y=f\left(x\right)$ 的最大值是  ． 2022-04-16 21:26:53
7722 59267e89ee79c20009339845 高中 填空题 高中习题 已知函数 $f(x)=\begin{cases}2x,0 \leqslant x \leqslant \dfrac 12,\\ 2-2x, \dfrac 12 <x \leqslant 1.\end{cases}$ 定义 $f_1(x)=f(x)$，$f_n(x)=f(f_{n-1}(x))$（$ n \geqslant 2$，$n \in \mathbb N^*$）．把满足 $f_n(x)=x$（$x\in [0,1]$）的 $x $ 的个数称为函数 $f(x)$ 的“$n-$ 周期点”．则 $f(x)$ 的 $2-$ 周期点是  ；$n-$ 周期点是  ． 2022-04-16 21:26:53
7721 59267eb4ee79c2000a59dc3b 高中 填空题 高中习题 已知函数 $f(x)$ 是定义在 $(0,+\infty)$ 上的单调递增函数，且 $x \in \mathbb N^*$ 时，$f(x) \in \mathbb N^*$，若 $f(f(n))=3n$，则 $f(2)=$  ；$f(4)+f(5)=$  ． 2022-04-16 21:25:53
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