设函数 $f(x)$ 的定义域为 $ {\mathbb{R}}$，若存在与 $x$ 无关的正常数 $M$，使 $|f(x)|\leqslant M|x|$ 对一切实数 $x$ 均成立，则称 $f(x)$ 为有界泛函．在函数：① $f\left(x\right) = -5x$；② $f\left(x\right) = {x^2}$；③ $f\left(x\right) = \sin^2 x $；④ $f\left(x\right) = \left(\dfrac 12\right)^x $；⑤ $f\left(x\right)=x \cos x$ 中，属于有界泛函的有 （填上所有正确的序号）．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
①③⑤
【解析】
对于 ①，$\left| \dfrac {f\left(x\right)}{x} \right| =5$，符合题意；
对于 ②，$\left| \dfrac {f\left(x\right)}{x} \right|=|x| $，不符合题意；
对于 ③，$\left| \dfrac {f\left(x\right)}{x} \right|=\left|\dfrac {\sin ^2x}{x}\right| \leqslant \left|\dfrac {\sin x}{x}\right|<1 $，符合题意；
对于 ④，$f(0)=1 \neq 0$，不符合题意；
对于 ⑤，$\left| \dfrac {f\left(x\right)}{x} \right|=|\cos x| \leqslant 1 $，符合题意．
综上，填 ①③⑤．
对于 ②，$\left| \dfrac {f\left(x\right)}{x} \right|=|x| $，不符合题意；
对于 ③，$\left| \dfrac {f\left(x\right)}{x} \right|=\left|\dfrac {\sin ^2x}{x}\right| \leqslant \left|\dfrac {\sin x}{x}\right|<1 $，符合题意；
对于 ④，$f(0)=1 \neq 0$，不符合题意；
对于 ⑤，$\left| \dfrac {f\left(x\right)}{x} \right|=|\cos x| \leqslant 1 $，符合题意．
综上，填 ①③⑤．
题目
答案
解析
备注
