已知函数 $f(x)$ 是定义在 $(0,+\infty)$ 上的单调递增函数，且 $x \in \mathbb N^*$ 时，$f(x) \in \mathbb N^*$，若 $f(f(n))=3n$，则 $f(2)=$ ；$f(4)+f(5)=$ ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$3$；$15$
【解析】
由已知 $f(f(1))=3$，显然 $ f(1)\neq 1$．
若 $ f(1)\geqslant 3$，则 $f(f(1)) \geqslant f(3) \geqslant f(1)+2 \geqslant 5$，矛盾．
因此 $ f(1)=2$，进而 $ f(2)=3$．
于是由 $f(f(2))=6$，得 $f(3)=6$．
进而 $f(f(3))=9$，得 $f(6)=9$．
注意到 $f(3)$，$f(4)$，$f(5)$，$f(6)$ 为递增的不同四个数，而 $f(3)=6$，$f(6)=9$，其中只有 $2$ 个不同的自然数，因此 $f(4)=7$，$f(5)=8$．
若 $ f(1)\geqslant 3$，则 $f(f(1)) \geqslant f(3) \geqslant f(1)+2 \geqslant 5$，矛盾．
因此 $ f(1)=2$，进而 $ f(2)=3$．
于是由 $f(f(2))=6$，得 $f(3)=6$．
进而 $f(f(3))=9$，得 $f(6)=9$．
注意到 $f(3)$，$f(4)$，$f(5)$，$f(6)$ 为递增的不同四个数，而 $f(3)=6$，$f(6)=9$，其中只有 $2$ 个不同的自然数，因此 $f(4)=7$，$f(5)=8$．
题目
答案
解析
备注
