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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
15327 59a76bf1c3021700077da33d 高中 解答题 自招竞赛 已知 $\omega$ 是整系数方程 $x^2+ax+b=0$ 的一个无理根，求证：存在常数 $C>0$，使得对任意互质的正整数 $p,q$，均有 $\left|\omega-\dfrac pq\right|\geqslant \dfrac{C}{q^2}$． 2022-04-17 19:39:12
15326 59ae77ca00b0ef000951d63e 高中 解答题 自招竞赛 已知实数 $a\in\left(-\dfrac{\pi}2,0\right)$，方程 $\sqrt{2\cos(x+a)-1}=\sin 6x-1$ 有解，求 $a$ 的取值． 2022-04-17 19:39:12
15325 59ae77ca00b0ef000951d640 高中 解答题 自招竞赛 解不等式：$\arccos 3x+\arcsin (x+1)\leqslant \dfrac{7\pi}6$． 2022-04-17 19:38:12
15293 5a0e7de8aaa1af00079caa00 高中 解答题 自招竞赛 已知多项式函数 $f(x)$． 2022-04-17 19:22:12
15270 5c6a3ef5210b281db9f4c71f 高中 解答题 自招竞赛 函数 $f$ 定义在实数域上，并满足如下条件：对任何实数 $x$，$f\left( 2+x \right)=f\left( 2-x \right)$，而且 $f\left( 7+x \right)=f\left( 7-x \right)$．如果 $x=0$ 是 $f\left( x \right)=0$ 的一个根，$f\left( x \right)=0$ 在区间 $-1000\leqslant x\leqslant 1000$ 中至少应有几个根？ 2022-04-17 19:11:12
15269 5c6a3efd210b281dbaa93352 高中 解答题 自招竞赛 求 $10\cot \left( \text{arc}\cot 3+\text{arc}\cot 7+\text{arc}\cot 13+\text{arc}\cot 21 \right)$ 的值． 2022-04-17 19:10:12
15266 5c6a44af210b281db9f4c734 高中 解答题 自招竞赛 一个直角三角形绕它的一条直角边旋转所得的圆锥体积是 $800\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }{{\operatorname{cm}}^{3}}$，绕它的另一条直角边旋转所得的圆锥体积是 $1920\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }{{\operatorname{cm}}^{3}}$，这个三角形的斜边长度是多少（以 $\operatorname{cm}$ 为单位）？ 2022-04-17 19:09:12
15264 5c6a44bf210b281db9f4c741 高中 解答题 自招竞赛 选定整数序数 ${{a}_{1}}$，${{a}_{2}}$，${{a}_{3}}$，…，使得 ${{a}_{n}}={{a}_{n-1}}-{{a}_{n-2}}$，其中 $n\geqslant 3$．如果前1492项的和是1985，而前1985项的和是1492，那么前2001项的和是多少？ 2022-04-17 19:07:12
15263 5c6a44cf210b281dbaa93371 高中 解答题 自招竞赛 设 $a$，$b$，$c$，$d$ 是正整数，满足 ${{a}^{5}}={{b}^{4}}$，${{c}^{3}}={{d}^{2}}$，且 $c-a=19$，求 $d-b$． 2022-04-17 19:07:12
15261 5c6a44e2210b281dbaa9337c 高中 解答题 自招竞赛 $x$ 是实数，问前1000个正整数当中有多少个可以表示成 $\left[ 2x \right]+\left[ 4x \right]+\left[ 6x \right]+\left[ 8x \right]$ 的形式？ 2022-04-17 19:06:12
15260 5c6a4e44210b281dbaa933ae 高中 解答题 自招竞赛 如果 $\tan x+\tan y=25$，并且 $\cot x+\cot y=30$，求 $\tan \left( x+y \right)$． 2022-04-17 19:06:12
15258 5c6a4e67210b281db9f4c771 高中 解答题 自招竞赛 把所有3的方幂及互不相等的3的方幂的和排列成一个递增序列：1，3，4，9，10，12，13，…，求这个序列的第100项（这里1是第一项，3是第二项，…）． 2022-04-17 19:05:12
15255 5c6a4e8f210b281db9f4c77b 高中 解答题 自招竞赛 一个数集的和是指它的所有元素之和．令 $S$ 是一些不超过15的正整数组成的集合，$S$ 的任意两个不相交的子集合的和不相等，并且在所有具有上述性质的集合中，$S$ 的和最大，求集合 $S$ 的和． 2022-04-17 19:02:12
15253 5c6a5349210b281db9f4c7a0 高中 解答题 自招竞赛 $x y$ 是满足方程 ${{y}^{2}}+3{{x}^{2}}{{y}^{2}}=30{{x}^{2}}+517$ 的整数，求 $3{{x}^{2}}{{y}^{2}}$ 的值． 2022-04-17 19:01:12
15249 5c6a5f04210b281db9f4c7f3 高中 解答题 自招竞赛 $c$ 是 $xy=1$ 的图像，$c$ 关于直线 $y=2x$ 的对称图像是 ${c}'$．已知 ${c}'$ 可以写成 $12{{x}^{2}}+bxy+c{{y}^{2}}+d=0$ 的形式，求 $bc$ 的值． 2022-04-17 19:59:11
15245 5c6b70c7210b281db9f4c870 高中 解答题 自招竞赛 集合 $A=\left\{ z|{{z}^{18}}=1 \right\}$ 和 $B=\left\{ \omega |{{\omega }^{48}}=1 \right\}$ 都是1的单位根的集合，集合 $C=\left\{ z\omega |z\in A \omega \in B \right\}$ 也是一个1的单位根的集合，集合 $C$ 中有多少个不同的元素？ 2022-04-17 19:57:11
15244 5c6babee210b281db9f4c8c8 高中 解答题 自招竞赛 对于正整数 $n$，定义 ${{S}_{n}}$ 为和式 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}{\sqrt{{{\left( 2k-1 \right)}^{2}}+a_{k}^{2}}}$ 的最小值，其中 ${{a}_{1}}$，${{a}_{2}}$，…，${{a}_{n}}$ 为正实数，它们的和为17．已知有唯一的正整数 $n$，使 ${{S}_{n}}$ 也为整数，求 $n$． 2022-04-17 19:57:11
15243 5c6cbdd3210b281db9f4c948 高中 解答题 自招竞赛 设 ${{P}_{0}}\left( x \right)={{x}^{3}}+313{{x}^{2}}-77x-8$，当整数 $n\geqslant 1$ 时，有 ${{P}_{n}}\left( x \right)={{P}_{n-1}}\left( x-n \right)$．问在 ${{P}_{20}}\left( x \right)$ 中 $x$ 项的系数是多少？ 2022-04-17 19:56:11
15241 5c6e0883210b281dbaa93581 高中 解答题 自招竞赛 已知方程 ${{x}^{10}}+{{\left( 13x-1 \right)}^{10}}=0$ 有10个复根 ${{r}_{1}}$，$\overline{{{r}_{1}}}$，${{r}_{2}}$，$\overline{{{r}_{2}}}$，${{r}_{3}}$，$\overline{{{r}_{3}}}$，${{r}_{4}}$，$\overline{{{r}_{4}}}$，${{r}_{5}}$，$\overline{{{r}_{5}}}$，${{r}_{i}}$ 与 $\overline{{{r}_{i}}}\left( i=1 2 3 4 5 \right)$ 互为共轭复根．求 $\frac{1}{{{r}_{1}}\overline{{{r}_{1}}}}+\frac{1}{{{r}_{2}}\overline{{{r}_{2}}}}+\frac{1}{{{r}_{3}}\overline{{{r}_{3}}}}+\frac{1}{{{r}_{4}}\overline{{{r}_{4}}}}+\frac{1}{{{r}_{5}}\overline{{{r}_{5}}}}$ 的值． 2022-04-17 19:55:11
15240 5c6e3b76210b281db9f4ca32 高中 解答题 自招竞赛 对每个实数 $x$，以 $\left[ x \right]$ 记不超过 $x$ 的最大整数．有多少个正整数 $n$，使得 $n<1000$ 且 $\left[ {{\log }_{2}}n \right]$ 是正偶数？ 2022-04-17 19:55:11
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