$x$ 是实数，问前1000个正整数当中有多少个可以表示成 $\left[ 2x \right]+\left[ 4x \right]+\left[ 6x \right]+\left[ 8x \right]$ 的形式？
【难度】
【出处】
1985年第3届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
600
【解析】
令 $f\left( x\right)=\left[ 2x \right]+\left[ 4x \right]+\left[ 6x \right]+\left[ 8x\right]$，（7）
于是可以看出，如果 $n$ 是整数，则从（7）可知 $f\left( x+n \right)=f\left( x \right)+20n$．（8）
如果某个整数 $k$ 可以表示为 $f\left({{x}_{0}} \right)$，其中 ${{x}_{0}}$ 为某一实数，则由（8），对 $n=1 ,2 ,3 ,\cdots $，
$k+20n=f\left( {{x}_{0}}\right)+20n=f\left( {{x}_{0}}+n \right)$，
则 $k+20n$ 也可以表示为（7）的形式．由此，我们集中注意，当 $x$ 在 $\left( 0 ,1 \right]$ 中变化时，$f\left( x \right)$ 可能产生出前20个正整数中的几个．
其次，如果让 $x$ 增加，那么仅当 $2x$，$4x$，$6x$，$8x$ 达到某个整数值时，$f\left(x \right)$ 才会改变，而且总是变成某个较大的整数．在 $\left( 0, 1 \right]$ 中，这种变化恰好发生于下述情况：即 $x$ 具有 $\frac{m}{n}$ 的形式，其次 $1\leqslant m\leqslant n$，而 $n=2 4 6$ 或8．共有12个这样的分数，从小到大排列是
$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{3}{8}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{8}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{5}{8}$，$\frac{7}{8}$，1．
因此，前20个正整数中只有12个可以表示为所要求的形式，因为 $1000=50\times20$，由（8）可知，前1000个正整数共分成50段，每段连续20个相邻正整数，其中只有12个可以表示成所要求的形式．故适合要求的数总共有 $50\times12=600$ 个．
于是可以看出，如果 $n$ 是整数，则从（7）可知 $f\left( x+n \right)=f\left( x \right)+20n$．（8）
如果某个整数 $k$ 可以表示为 $f\left({{x}_{0}} \right)$，其中 ${{x}_{0}}$ 为某一实数，则由（8），对 $n=1 ,2 ,3 ,\cdots $，
$k+20n=f\left( {{x}_{0}}\right)+20n=f\left( {{x}_{0}}+n \right)$，
则 $k+20n$ 也可以表示为（7）的形式．由此，我们集中注意，当 $x$ 在 $\left( 0 ,1 \right]$ 中变化时，$f\left( x \right)$ 可能产生出前20个正整数中的几个．
其次，如果让 $x$ 增加，那么仅当 $2x$，$4x$，$6x$，$8x$ 达到某个整数值时，$f\left(x \right)$ 才会改变，而且总是变成某个较大的整数．在 $\left( 0, 1 \right]$ 中，这种变化恰好发生于下述情况：即 $x$ 具有 $\frac{m}{n}$ 的形式，其次 $1\leqslant m\leqslant n$，而 $n=2 4 6$ 或8．共有12个这样的分数，从小到大排列是
$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{3}{8}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{8}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{5}{8}$，$\frac{7}{8}$，1．
因此，前20个正整数中只有12个可以表示为所要求的形式，因为 $1000=50\times20$，由（8）可知，前1000个正整数共分成50段，每段连续20个相邻正整数，其中只有12个可以表示成所要求的形式．故适合要求的数总共有 $50\times12=600$ 个．
答案
解析
备注
