$x y$ 是满足方程 ${{y}^{2}}+3{{x}^{2}}{{y}^{2}}=30{{x}^{2}}+517$ 的整数，求 $3{{x}^{2}}{{y}^{2}}$ 的值．
【难度】
【出处】
1987年第5届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
588
【解析】
原方程可变形为 $\left({{y}^{2}}-10 \right)\left( 3{{x}^{2}}+1 \right)=3\times {{13}^{2}}$，从而 ${{y}^{2}}-10=1,3,13,39,169$ 或507，
${{y}^{2}}=11,13,23,49,179$ 或517．
由 $y$ 是整数得 ${{y}^{2}}=49$，从而
${{y}^{2}}-10=39$，$3{{x}^{2}}+1=13$，$3{{x}^{2}}=12$，$3{{x}^{2}}{{y}^{2}}=12\times 49=588$．
${{y}^{2}}=11,13,23,49,179$ 或517．
由 $y$ 是整数得 ${{y}^{2}}=49$，从而
${{y}^{2}}-10=39$，$3{{x}^{2}}+1=13$，$3{{x}^{2}}=12$，$3{{x}^{2}}{{y}^{2}}=12\times 49=588$．
答案
解析
备注
