一个直角三角形绕它的一条直角边旋转所得的圆锥体积是 $800\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }{{\operatorname{cm}}^{3}}$，绕它的另一条直角边旋转所得的圆锥体积是 $1920\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }{{\operatorname{cm}}^{3}}$，这个三角形的斜边长度是多少（以 $\operatorname{cm}$ 为单位）？
【难度】
【出处】
1985年第3届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
$26\operatorname{cm}$
【解析】
底半径为 $r$，高为 $h$ 的圆锥体积是 $\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{}}{3}h{{r}^{2}}$．用 $a$，$b$ 表示直角三角形的两个直角边，于是有
$\frac{\text{}\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}b{{a}^{2}}=800\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }$，$\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{}}{3}a{{b}^{2}}=1920\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }$．
二式相除得 $\frac{a}{b}=\frac{5}{12}$，即 $a=\frac{5}{12}b$．所以
${{a}^{3}}=\left(\frac{5}{12}b \right){{a}^{2}}=\frac{5}{12}\left( b{{a}^{2}}\right)=\frac{5}{12}\times 800\times 3=1000$．
于是求得：$a=10$，$b=24$．用勾股定理求得三角形的斜边长：$\sqrt{{{10}^{2}}+{{24}^{2}}}=26\left(\operatorname{cm} \right)$．
$\frac{\text{}\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}b{{a}^{2}}=800\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }$，$\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{}}{3}a{{b}^{2}}=1920\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }$．
二式相除得 $\frac{a}{b}=\frac{5}{12}$，即 $a=\frac{5}{12}b$．所以
${{a}^{3}}=\left(\frac{5}{12}b \right){{a}^{2}}=\frac{5}{12}\left( b{{a}^{2}}\right)=\frac{5}{12}\times 800\times 3=1000$．
于是求得：$a=10$，$b=24$．用勾股定理求得三角形的斜边长：$\sqrt{{{10}^{2}}+{{24}^{2}}}=26\left(\operatorname{cm} \right)$．
答案
解析
备注
