已知 $\omega$ 是整系数方程 $x^2+ax+b=0$ 的一个无理根，求证：存在常数 $C>0$，使得对任意互质的正整数 $p,q$，均有 $\left|\omega-\dfrac pq\right|\geqslant \dfrac{C}{q^2}$．
【难度】
【出处】
2017年北京大学夏令营数学试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
取 $C=\dfrac{1}{4|\omega|+2|a|+4}$ 即可．记 $m=\dfrac pq$．
情形1 若 $m\in [\omega-1,\omega+1]$，设函数 $f(x)=x^2+ax+b$，构造函数\[h(x)=f'(x)(m-\omega)-f(m).\]令 $\varphi(x)=(2x+a)(x-\omega)-f(x)$，$\mu(x)=(2\omega +a)(x-\omega)-f(x)$，则\[\begin{split} \varphi'(x)&=2(x-\omega),\\ \mu'(x)&=2(\omega-x),\end{split}\]于是 $\varphi(x)$ 在 $x=\omega$ 处取得极小值，亦为最小值 $0$；$\mu(x)$ 在 $x=\omega$ 处取得极大值，亦为最大值 $0$．进而\[h(m)\cdot h(\omega)=\varphi(m)\cdot \mu(m)<0,\]因此存在 $\omega$ 和 $m$ 之间的实数 $x_0$，使 $h(x_0)=0$，也即\[(2x_0+a)\left(\dfrac pq-\omega\right)-f\left(\dfrac pq\right)=0,\]从而\[\begin{split}\left|\omega-\dfrac pq\right|&=\dfrac{\left|f\left(\dfrac pq\right)\right|}{|2x_0+a|}\\
&=\dfrac{\left|p^2+apq+q^2\right|}{bq^2}\cdot \dfrac{1}{|2x_0+a|}\\
&\geqslant \dfrac{1}{q^2}\cdot \dfrac{1}{|2(\omega-1)+a|+|2(\omega+1)+a|}\\
&\geqslant \dfrac{1}{q^2}\cdot \dfrac{1}{4|\omega|+2|a|+4}.\end{split}\]情形2 若 $m\notin [\omega-1,\omega+1]$，则\[\left|\omega-\dfrac pq\right|\geqslant 1\geqslant \dfrac {1}{q^2}\cdot \dfrac{1}{4|\omega|+2|a|+4}.\]综上所述，原命题得证．
&=\dfrac{\left|p^2+apq+q^2\right|}{bq^2}\cdot \dfrac{1}{|2x_0+a|}\\
&\geqslant \dfrac{1}{q^2}\cdot \dfrac{1}{|2(\omega-1)+a|+|2(\omega+1)+a|}\\
&\geqslant \dfrac{1}{q^2}\cdot \dfrac{1}{4|\omega|+2|a|+4}.\end{split}\]
答案
解析
备注
