已知实数 $a\in\left(-\dfrac{\pi}2,0\right)$，方程 $\sqrt{2\cos(x+a)-1}=\sin 6x-1$ 有解，求 $a$ 的取值．
【难度】
【出处】
深圳北理莫斯科大学学校测试数学考试样题
【标注】
【答案】
$-\dfrac{5\pi}{12},-\dfrac{\pi}{12}$
【解析】
根据题意，有\[2\cos(x+a)-1=\sin 6x-1=0,\]于是\[\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{m\pi}{3}+a=\pm \dfrac{\pi}3+2n\pi,\]即\[a=\dfrac{\pi}4+\left(2n-\dfrac m3\right)\pi,-\dfrac{5\pi}{12}+\left(2n-\dfrac m3\right)\pi,\]其中 $m,n\in\mathbb Z$．考虑到 $a\in\left(-\dfrac{\pi}2,0\right)$，于是 $a=-\dfrac{5\pi}{12},-\dfrac{\pi}{12}$．
答案
解析
备注
