如果 $\tan x+\tan y=25$，并且 $\cot x+\cot y=30$，求 $\tan \left( x+y \right)$．
【难度】
【出处】
1986年第4届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
150
【解析】
由 $\cot x+\cot y=30$ 得 $\frac{1}{\tan x}+\frac{1}{\tan y}=30$，从而 $\tan x+\tan y=30\tan x\cdot \tan y$，
即 $\tan x\cdot \tan y=\frac{\tan x+\tan y}{30}=\frac{25}{30}=\frac{5}{6}$．
因此，$\tan \left( x+y\right)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\cdot \tan y}=\frac{25}{1-\frac{5}{6}}=150$．
即 $\tan x\cdot \tan y=\frac{\tan x+\tan y}{30}=\frac{25}{30}=\frac{5}{6}$．
因此，$\tan \left( x+y\right)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\cdot \tan y}=\frac{25}{1-\frac{5}{6}}=150$．
答案
解析
备注
