把所有3的方幂及互不相等的3的方幂的和排列成一个递增序列：1，3，4，9，10，12，13，…，求这个序列的第100项（这里1是第一项，3是第二项，…）．
【难度】
【出处】
1986年第4届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
981
【解析】
如果使用前6个3的非负整数幂，即1，3，9，27，81和243，那么可以组成没事的3的幂之和，共有 $\text{C}_{6}^{1}+\text{C}_{6}^{2}+\text{C}_{6}^{3}+\text{C}_{6}^{4}+\text{C}_{6}^{5}+\text{C}_{6}^{6}={{2}^{6}}-1=63$，
即63项，这递增数列的第64项就是 ${{3}^{6}}=729$．然而，自729起，被加数中不含有243的不同的3的幂之和，有 $\text{C}_{5}^{0}+\text{C}_{5}^{1}+\text{C}_{5}^{2}+\text{C}_{5}^{3}+\text{C}_{5}^{4}+\text{C}_{5}^{5}=32$，
即32项．这样，我们产生了此数列的前95项．因为要求此数列的第100项，于是从第96项起，必含有243，而第96，第97，…，第100项分别是：$729+243$，$729+243+1$，$729+243+3$，$729+243+3+1$ 和 $729+243+9=981$．所以，此数列的第100项是981．
即63项，这递增数列的第64项就是 ${{3}^{6}}=729$．然而，自729起，被加数中不含有243的不同的3的幂之和，有 $\text{C}_{5}^{0}+\text{C}_{5}^{1}+\text{C}_{5}^{2}+\text{C}_{5}^{3}+\text{C}_{5}^{4}+\text{C}_{5}^{5}=32$，
即32项．这样，我们产生了此数列的前95项．因为要求此数列的第100项，于是从第96项起，必含有243，而第96，第97，…，第100项分别是：$729+243$，$729+243+1$，$729+243+3$，$729+243+3+1$ 和 $729+243+9=981$．所以，此数列的第100项是981．
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