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函数 $f$ 定义在实数域上，并满足如下条件：对任何实数 $x$，$f\left( 2+x \right)=f\left( 2-x \right)$，而且 $f\left( 7+x \right)=f\left( 7-x \right)$．如果 $x=0$ 是 $f\left( x \right)=0$ 的一个根，$f\left( x \right)=0$ 在区间 $-1000\leqslant x\leqslant 1000$ 中至少应有几个根？
【难度】
【出处】
1984年第2届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
  • 数学竞赛
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    函数与方程
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    函数基本性质
  • 知识点
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    函数
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    函数的图象与性质
【答案】
401
【解析】
先由给出的方程找出对于定义域中的哪些数可使 $f$ 的值相同．我们有
$f\left(x \right)=f\left( 2+\left( x-2 \right) \right)=f\left( 2-\left( x-2 \right)\right)=f\left( 4-x \right)$，（2-7）
$f\left( 4-x \right)=f\left( 7-\left( x+3\right) \right)=f\left( 7+\left( x+3 \right) \right)=f\left( x+10 \right)$．（2-8）
从（2-7）和（2-8）得到 $f\left(x+10 \right)=f\left( x \right)$．（2-9）
用 $x+10$ 和 $x-10$ 代替（2-9）中的 $x$，得 $f\left( x+10\right)=f\left( x+20 \right)$ 及 $f\left( x-10 \right)=f\left( x \right)$．
如此连续下去，有 $f\left(x+10n \right)=f\left( x \right)$，$n=\pm 1 \pm 2 \pm 3 \cdots .$（2-10）
因为 $f\left( 0\right)=0$，由（2-10）得到 $f\left(\pm 10 \right)=f\left( \pm 20 \right)=\cdots =f\left( \pm 1000 \right)=0$．
这样，就得到了 $f\left( x\right)=0$ 在 $\left[ -1000 1000 \right]$ 中的201个根．还有没有其他的根呢？我们在（2-7）中令 $x=0$，得到 $f\left( 4\right)=f\left( 0 \right)=0$，在（2-10）中令 $x=4$，得
$f\left( 4\pm 10 \right)=f\left( 4\pm 20 \right)=\cdots =f\left(4\pm 1000 \right)=0$，
从而又可得出 $f\left( x\right)=0$ 在 $\left[ -1000 1000 \right]$ 中与前面所求的根不同的200个根，它们是 $x=-996$，$-986$，…，-6，4，14，…，994．因为如图所示的折线函数满足所给的条件，而且再也没有别的根了，所以问题的解是401．
答案 解析 备注
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