设 ${{P}_{0}}\left( x \right)={{x}^{3}}+313{{x}^{2}}-77x-8$，当整数 $n\geqslant 1$ 时，有 ${{P}_{n}}\left( x \right)={{P}_{n-1}}\left( x-n \right)$．问在 ${{P}_{20}}\left( x \right)$ 中 $x$ 项的系数是多少？
【难度】
【出处】
1993年第11届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
763
【解析】
对正整数 $n$，有 ${{P}_{n}}\left( x \right)={{P}_{n-1}}\left( x-n \right)$
$={{P}_{n-2}}\left( x-n-\left( n-1 \right)\right)$
$={{P}_{n-3}}\left( x-n-\left( n-1\right)-\left( n-2 \right) \right)$
$=\cdots $
$={{P}_{0}}\left( x-n-\left( n-1\right)-\cdots -2-1 \right)$
${{P}_{0}}\left( x-\frac{1}{2}n\left( n+1\right) \right)$，
所以 ${{P}_{20}}\left( x\right)={{P}_{0}}\left( x-\frac{1}{2}\times 20\times 21 \right)={{P}_{0}}\left(x-210 \right)$
$={{\left( x-210 \right)}^{3}}+313{{\left(x-210 \right)}^{2}}-77\left( x-210 \right)-8$，
其中 $x$ 项的系数为 $3\times{{210}^{2}}-313\times 2\times 210-77=763$．
$={{P}_{n-2}}\left( x-n-\left( n-1 \right)\right)$
$={{P}_{n-3}}\left( x-n-\left( n-1\right)-\left( n-2 \right) \right)$
$=\cdots $
$={{P}_{0}}\left( x-n-\left( n-1\right)-\cdots -2-1 \right)$
${{P}_{0}}\left( x-\frac{1}{2}n\left( n+1\right) \right)$，
所以 ${{P}_{20}}\left( x\right)={{P}_{0}}\left( x-\frac{1}{2}\times 20\times 21 \right)={{P}_{0}}\left(x-210 \right)$
$={{\left( x-210 \right)}^{3}}+313{{\left(x-210 \right)}^{2}}-77\left( x-210 \right)-8$，
其中 $x$ 项的系数为 $3\times{{210}^{2}}-313\times 2\times 210-77=763$．
答案
解析
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