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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
15655 5910284d40fdc7000a51cf49 高中 解答题 自招竞赛 若 $x,y$ 满足 ${x^2}-2xy+{y^2}-\sqrt3x-\sqrt3y+12=0$． 2022-04-17 19:42:15
15647 5911758ae020e700094b09b5 高中 解答题 自招竞赛 设 $n$ 为大于 $2$ 的整数，试用数学归纳法证明不等式$$1 + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{3^2}}} + \cdots + \dfrac{1}{{{n^2}}} < 2 - \dfrac{1}{n};$$ 2022-04-17 19:37:15
15633 5912777ee020e7000878f830 高中 解答题 自招竞赛 方程 ${x^3} + p{x^2} + qx + 1 = 0$ 有 $3$ 个实根，且 $p,q$ $ > 0 $．求证：$ pq \geqslant 9$． 2022-04-17 19:30:15
15606 5912b5fce020e7000878f9d4 高中 解答题 自招竞赛 已知 $a,b$ 为非负数，$M=a^4+b^4$，$a+b=1$，求 $M$ 的最值． 2022-04-17 19:12:15
15598 5912babae020e7000878fa0d 高中 解答题 自招竞赛 数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 满足条件：${a_1} = 1$，${a_n} = 1 + \dfrac{1}{{{a_{n - 1}}}}$（$n \geqslant 2$）．试证明： 2022-04-17 19:08:15
15590 59141bf11edfe2000949ce40 高中 解答题 高中习题 设正实数 $a,b,c$ 满足 $abc=1$．求证：$\dfrac{1}{a+b+1}+\dfrac{1}{b+c+1}+\dfrac{1}{c+a+1}\leqslant 1$． 2022-04-17 19:04:15
15572 595729c0d3b4f90007b6fcc1 高中 解答题 高中习题 对任意正整数 $n$，设 $a_n$ 是方程 $x^2+\dfrac xn=1$ 的正根． 2022-04-17 19:52:14
15571 59572c0ed3b4f900095c6661 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b,c>0$，且 $a^2+b^2+4c^2=1$，求 $ab+2ca+3\sqrt 2bc$ 的最大值． 2022-04-17 19:52:14
15557 595f24af815115000a492f98 高中 解答题 自招竞赛 设 $0 < {x_1},{x_2} , \cdots , {x_n} < 1$，且 ${x_1} + {x_2} + \cdots + {x_n} = 1$ $\left(n\geqslant 2\right)$．求证：$\dfrac{1}{{{x_1} - x_1^3}} + \dfrac{1}{{{x_2} - x_2^3}} + \cdots + \dfrac{1}{{{x_n} - x_n^3}} > 4$． 2022-04-17 19:45:14
15428 597ab5bd0a41cd000724718e 高中 解答题 自招竞赛 求方程 $(x^{2008}+1)(1+x^2+x^4+\cdots+x^{2006})=2008x^{2007}$ 的实数解． 2022-04-17 19:35:13
15410 597e9767d05b900009165165 高中 解答题 高中习题 求证：$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^n {\dfrac{2}{{3 \cdot {2^k}+2}}}<\dfrac{4}{7}$． 2022-04-17 19:25:13
15403 597ed2f8d05b9000091652c0 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 满足 ${a_0}=\dfrac{1}{2}$，${a_n}={a_{n-1}}+\dfrac{1}{{{n^2}}} \cdot a_{n-1}^2$，求证：$\dfrac{{n+1}}{{n+2}}<{a_n}<n$． 2022-04-17 19:21:13
15402 597ed464d05b90000c805930 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 单调递增，${a_1}=2$，$\dfrac{{{a_{2n}}}}{{{a_n}}} \leqslant 1+\dfrac{1}{n}$，求证：$a_n\leqslant 12$． 2022-04-17 19:21:13
15378 5989177e5ed01a000ba75ca3 高中 解答题 自招竞赛 设 $a,b,c$ 是不全为 $0$ 的实数，求 $F=\dfrac{ab-bc+c^{2}}{a^{2}+2b^{2}+3c^{2}}$ 的取值范围．$a,b,c$ 分别满足什么条件时，$F$ 取最大值与最小值？ 2022-04-17 19:06:13
15325 59ae77ca00b0ef000951d640 高中 解答题 自招竞赛 解不等式：$\arccos 3x+\arcsin (x+1)\leqslant \dfrac{7\pi}6$． 2022-04-17 19:38:12
15323 59b62304b049650007282ff3 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b,c$ 是 $\triangle ABC$ 的三边长，$S$ 是 $\triangle ABC$ 的面积，求证：$ab+bc+ca\geqslant 4\sqrt 3S$． 2022-04-17 19:37:12
15322 59b7323cb049650007283188 高中 解答题 自招竞赛 设复数 $z_1,z_2$ 满足 ${\rm Re}(z_1)>0,{\rm Re}(z_2)>0$，且 ${\rm Re}(z_1^2)={\rm Re}(z_2^2)=2$，其中 ${\rm Re}(z)$ 表示复数 $z$ 的实部． 2022-04-17 19:37:12
15304 59bbd59b8b403a0008ec5f76 高中 解答题 高中习题 已知正实数 $a,b,c$ 满足 $abc=1$，求证：$5+\dfrac ab+\dfrac bc+\dfrac ca\geqslant (1+a)(1+b)(1+c)$． 2022-04-17 19:27:12
15303 59c0d4c0f14e16000838933e 高中 解答题 高中习题 已知 $P$ 为三角形 $ABC$ 的费马点，记 $PA$，$PB$，$PC$ 的长为 $x$，$y$，$z$，三角形的边长为 $a$，$b$，$c$．求证：\[(x+y+z)^2\leqslant ab+bc+ca.\] 2022-04-17 19:27:12
15293 5a0e7de8aaa1af00079caa00 高中 解答题 自招竞赛 已知多项式函数 $f(x)$． 2022-04-17 19:22:12
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