已知 $a,b,c$ 是 $\triangle ABC$ 的三边长，$S$ 是 $\triangle ABC$ 的面积，求证：$ab+bc+ca\geqslant 4\sqrt 3S$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
考虑到\[S=\dfrac 12ab\sin C=\dfrac 12bc\sin A=\dfrac 12ca\sin B,\]于是\[LHS=\dfrac{2S}{\sin A}+\dfrac{2S}{\sin B}+\dfrac{2S}{\sin C},\]于是原不等式等价于\[\dfrac{1}{\sin A}+\dfrac{1}{\sin B}+\dfrac{1}{\sin C}\geqslant 2\sqrt 3.\]事实上，根据柯西不等式，有\[\dfrac{1}{\sin A}+\dfrac{1}{\sin B}+\dfrac{1}{\sin C}\geqslant \dfrac{9}{\sin A+\sin B+\sin C},\]再根据琴生不等式，有\[\sin A+\sin B+\sin C\leqslant 3\sin\dfrac{A+B+C}3=\dfrac{3\sqrt 3}2,\]于是原不等式得证．
答案
解析
备注
