数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 满足条件：${a_1} = 1$，${a_n} = 1 + \dfrac{1}{{{a_{n - 1}}}}$（$n \geqslant 2$）．试证明：
【难度】
【出处】
2009年浙江大学自主招生考试
【标注】
-
$1 \leqslant {a_n} \leqslant 2$，$n \in {{\mathbb{N}}^ * }$；标注答案略解析当 $n = 1$ 时显然成立，若 $1 \leqslant {a_n} \leqslant 2$，则$${a_{n + 1}} = 1 + \dfrac{1}{{{a_n}}} \geqslant 1 ,$$且$$ {a_{n + 1}} = 1 +\dfrac{1}{{{a_n}}} \leqslant 1 + \dfrac{1}{1} = 2,$$所以命题得证．
-
$\dfrac{1}{3} \leqslant \dfrac{{\left| {{a_{n + 1}} - {a_n}} \right|}}{{\left| {{a_n} - {a_{n - 1}}} \right|}} \leqslant \dfrac{1}{2}$，$n \geqslant 2$ 且 $n \in {{\mathbb {N}}^ * }$．标注答案略解析因为$${a_{n + 1}} - {a_n} = \dfrac{1}{{{a_n}}} - \dfrac{1}{{{a_{n - 1}}}} = \dfrac{{{a_{n - 1}} - {a_n}}}{{{a_n}{a_{n - 1}}}},$$所以$$\left| {\dfrac{{{a_{n + 1}} - {a_n}}}{{{a_n} - {a_{n - 1}}}}} \right| = \left| {\dfrac{1}{{{a_n}{a_{n - 1}}}}} \right|=\dfrac{1}{{{a_n}{a_{n - 1}}}}.$$所以，原命题即$$2 \leqslant {a_n}{a_{n + 1}} \leqslant 3,$$其中 $n = 1, 2 , 3 , \cdots$．事实上$${a_n}_{ + 1} = 1 + \dfrac{1}{{{a_n}}},$$所以根据第 $(1)$ 小题结论$${a_n}{a_{n + 1}} = {a_n} + 1 \in \left[ {2,3} \right],$$所以原命题得证．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
