设 $a,b,c$ 是不全为 $0$ 的实数，求 $F=\dfrac{ab-bc+c^{2}}{a^{2}+2b^{2}+3c^{2}}$ 的取值范围．$a,b,c$ 分别满足什么条件时，$F$ 取最大值与最小值？
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛安徽省预赛
【标注】
【答案】
$F$ 的最大值为 $\dfrac{1}{2}$，$F$ 的最小值为 $-\dfrac{\sqrt {13}+1}{12}$
【解析】
我们知道均值不等式$$ab\leqslant \dfrac{a^2+b^2}2$$可以用来将 $ab$ 转化为 $a^2+b^2$．因此可以抓住这一点，利用参数对其进行改造，使得 $a^2$ 与 $b^2$ 的系数变得可以调整，如$$\lambda a\cdot b\leqslant \dfrac{\lambda^2a^2+b^2}2,$$也即$$ab\leqslant \dfrac {\lambda}2a^2+\dfrac{1}{2\lambda}b^2,$$其中 $\lambda>0$，且等号当 $\lambda a=b$ 时取得．此外，当 $\lambda<0$ 时，亦有$$ab\geqslant \dfrac {\lambda}2a^2+\dfrac{1}{2\lambda}b^2,$$等号当 $\lambda a=b$ 时取得．
利用含参的均值不等式可得$$ab-bc+c^2\leqslant \dfrac{\lambda}2a^2+\left(\dfrac{1}{2\lambda}+\dfrac{\mu}2\right)b^2+\left(\dfrac{1}{2\mu}+1\right)c^2,$$其中 $\lambda,\mu>0$，且$$ab+bc+c^2\geqslant \dfrac{\lambda}2a^2+\left(\dfrac{1}{2\lambda}+\dfrac{\mu}2\right)b^2+\left(\dfrac{1}{2\mu}+1\right)c^2,$$其中 $\lambda,\mu<0$．
解方程组$$\begin{cases} \dfrac{1}{2\lambda}+\dfrac{\mu}2=\lambda,\\ \dfrac{1}{2\mu}+1=\dfrac {3\lambda}2,\end{cases}$$可得 $(\lambda,\mu)=(1,1),\left(-\dfrac{1+\sqrt{13}}6,\dfrac{\sqrt{13}-5}6\right),\left(\dfrac{\sqrt{13}-1}6,-\dfrac{\sqrt{13}+5}6\right)$．舍去最后一组 $\lambda,\mu$ 异号的解，可得$$-\dfrac{1+\sqrt{13}}{12}(a^2+2b^2+3c^2)\leqslant ab-bc+c^2\leqslant \dfrac 12(a^2+2b^2+3c^2),$$左边等号当$$a:b:c=18:-3-3\sqrt{13}:4-2\sqrt{13}$$时取得，右边等号当$$a:b:c=1:1:-1$$时取得．
综上所述 $\dfrac{ab-bc+c^2}{a^2+2b^2+3c^2}$ 的最大值是 $\dfrac 12$，最小值是 $-\dfrac{1+\sqrt{13}}{12}$．
利用含参的均值不等式可得$$ab-bc+c^2\leqslant \dfrac{\lambda}2a^2+\left(\dfrac{1}{2\lambda}+\dfrac{\mu}2\right)b^2+\left(\dfrac{1}{2\mu}+1\right)c^2,$$其中 $\lambda,\mu>0$，且$$ab+bc+c^2\geqslant \dfrac{\lambda}2a^2+\left(\dfrac{1}{2\lambda}+\dfrac{\mu}2\right)b^2+\left(\dfrac{1}{2\mu}+1\right)c^2,$$其中 $\lambda,\mu<0$．
解方程组$$\begin{cases} \dfrac{1}{2\lambda}+\dfrac{\mu}2=\lambda,\\ \dfrac{1}{2\mu}+1=\dfrac {3\lambda}2,\end{cases}$$可得 $(\lambda,\mu)=(1,1),\left(-\dfrac{1+\sqrt{13}}6,\dfrac{\sqrt{13}-5}6\right),\left(\dfrac{\sqrt{13}-1}6,-\dfrac{\sqrt{13}+5}6\right)$．舍去最后一组 $\lambda,\mu$ 异号的解，可得$$-\dfrac{1+\sqrt{13}}{12}(a^2+2b^2+3c^2)\leqslant ab-bc+c^2\leqslant \dfrac 12(a^2+2b^2+3c^2),$$左边等号当$$a:b:c=18:-3-3\sqrt{13}:4-2\sqrt{13}$$时取得，右边等号当$$a:b:c=1:1:-1$$时取得．
综上所述 $\dfrac{ab-bc+c^2}{a^2+2b^2+3c^2}$ 的最大值是 $\dfrac 12$，最小值是 $-\dfrac{1+\sqrt{13}}{12}$．
答案
解析
备注
