已知数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 单调递增，${a_1}=2$，$\dfrac{{{a_{2n}}}}{{{a_n}}} \leqslant 1+\dfrac{1}{n}$，求证：$a_n\leqslant 12$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据题意$$\dfrac{{{a_{2n}}}}{{{a_n}}} \leqslant 1+\dfrac{1}{n}=\dfrac{{n+1}}{n},$$于是$${a_{{2^n}}}={a_1} \cdot \prod\limits_{k=1}^n {\dfrac{{{a_{{2^k}}}}}{{{a_{{2^{k-1}}}}}}}
\leqslant {a_1} \cdot \prod\limits_{k=1}^n {\dfrac{{{2^{k-1}}+1}}{{{2^{k-1}}}}}
= 2{a_1} \cdot \prod\limits_{k=1}^{n-1} {\dfrac{{{2^k}+1}}{{{2^k}}}},$$可以利用分析通项法证明$$\prod\limits_{k=1}^n {\left( {1+\dfrac{1}{{{2^k}}}} \right)} \leqslant 3\left( {1-\dfrac{1}{{{2^n}}}} \right),$$这样我们就证明了 ${a_{{2^n}}} \leqslant 12$，因此 ${a_n} \leqslant 12$．
\leqslant {a_1} \cdot \prod\limits_{k=1}^n {\dfrac{{{2^{k-1}}+1}}{{{2^{k-1}}}}}
= 2{a_1} \cdot \prod\limits_{k=1}^{n-1} {\dfrac{{{2^k}+1}}{{{2^k}}}},$$可以利用分析通项法证明$$\prod\limits_{k=1}^n {\left( {1+\dfrac{1}{{{2^k}}}} \right)} \leqslant 3\left( {1-\dfrac{1}{{{2^n}}}} \right),$$这样我们就证明了 ${a_{{2^n}}} \leqslant 12$，因此 ${a_n} \leqslant 12$．
答案
解析
备注
