求方程 $(x^{2008}+1)(1+x^2+x^4+\cdots+x^{2006})=2008x^{2007}$ 的实数解．
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛贵州省预赛
【标注】
【答案】
$x=1$
【解析】
方程两边同除以 $x^{2007}$，得$$\left(x+\dfrac{1}{x^{2007}}\right)(1+x^2+x^4+\cdots+x^{2006})=2008,$$整理得$$2008=x+x^3+\cdots+x^{2007}+\dfrac{1}{x^{2007}}+\dfrac{1}{x^{2005}}+\cdots+\dfrac1x\geqslant2\cdot1004=2008,$$当且仅当$$x=\dfrac1x,x^3=\dfrac{1}{x^3},\cdots,x^{2007}=\dfrac{1}{x^{2007}}$$时，上式取得等号，解得 $x=\pm1$．
经检验 $x=-1$ 时，不合题意，故 $x=1$ 是原方程唯一的实数解．
经检验 $x=-1$ 时，不合题意，故 $x=1$ 是原方程唯一的实数解．
答案
解析
备注
