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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
15694 590bd0286cddca00078f3a5d 高中 解答题 自招竞赛 证明：若 $n$ 为不小于 $2$ 的自然数，$t$ 为实数且 $\sin\dfrac{t}{2}\neq 0$，则\[\sum_{k=1}^n\left(1+\sum_{p=1}^{k-1}2\cos pt\right)=\left(\dfrac{\sin\dfrac{nt}2}{\sin\dfrac t2}\right)^2.\] 2022-04-17 19:05:16
15668 590fdaef857b420007d3e5b7 高中 解答题 自招竞赛 记 $\triangle ABC$ 的三个内角为 $A,B,C$．试问：是否存在满足条件 $\cos A+\cos B=\cos C$ 的非等腰三角形？请给出证明． 2022-04-17 19:51:15
15665 590fea62857b4200085f8692 高中 解答题 自招竞赛 已知 $\sin x,\sin y,\sin z$ 为严格递增的等差数列．求证：$\cos x,\cos y,\cos z$ 不是等差数列． 2022-04-17 19:49:15
15622 59127c12e020e7000a798b16 高中 解答题 自招竞赛 已知 $\sin \alpha + \cos \alpha = a\left( {0 \leqslant a \leqslant \sqrt 2 } \right)$，求 ${\sin ^n}\alpha + {\cos ^n}\alpha $ 关于 $a$ 的表达式． 2022-04-17 19:23:15
15620 591288eee020e70007fbed89 高中 解答题 自招竞赛 若 $\sin \left( {x + 20^\circ } \right) = \cos \left( {x + 10^\circ } \right) + \cos \left( {x - 10^\circ } \right)$，求 $\tan x$． 2022-04-17 19:22:15
15616 59128be3e020e700094b0c95 高中 解答题 自招竞赛 已知 $A,B,C$ 为 $\triangle ABC$ 的三个内角，求证：$\cos B + \cos C + \dfrac{{2a}}{{b + c}} \geqslant 4\sin \dfrac{A}{2}$． 2022-04-17 19:19:15
15605 5912b61ee020e7000878f9d8 高中 解答题 自招竞赛 已知 $\sin\theta,\sin\alpha,\cos\theta$ 为等差数列，$\sin\theta,\sin\beta,\cos\theta$ 为等比数列，求 $\cos2\alpha-\dfrac12\cos2\beta$ 的值． 2022-04-17 19:12:15
15584 592e1959eab1df000ab6eb7c 高中 解答题 高中习题 如图，$\angle ABC=\angle ADC=90^\circ$，$\angle BAD=60^\circ$，$BC=2CD=2$，求  $AC$； 2022-04-17 19:00:15
15581 59362acec2b4e700093881f5 高中 解答题 高中习题 求 $M=\sin^210^\circ+\cos^240^\circ+\sin 10^\circ\cos 40^\circ$ 的值． 2022-04-17 19:58:14
15579 593a3b672da6d20009ed4217 高中 解答题 高中习题 求证：$\dfrac{\cos\alpha}{1+\sin \alpha}-\dfrac{\sin \alpha}{1+\cos\alpha}=\dfrac{2(\cos\alpha-\sin\alpha)}{1+\sin\alpha+\cos\alpha}$． 2022-04-17 19:57:14
15324 59ae77ca00b0ef000951d642 高中 解答题 自招竞赛 三个数 $\sin x,\dfrac 12\sin 2x,\sin 3x$ 成公差不为 $0$ 的等差数列，求 $x$ 的值． 2022-04-17 19:38:12
15315 59ba35d398483e0009c73104 高中 解答题 高中习题 求 $3\cos\dfrac{2\pi}5-\cos\dfrac{\pi}5$ 的值． 2022-04-17 19:32:12
15303 59c0d4c0f14e16000838933e 高中 解答题 高中习题 已知 $P$ 为三角形 $ABC$ 的费马点，记 $PA$，$PB$，$PC$ 的长为 $x$，$y$，$z$，三角形的边长为 $a$，$b$，$c$．求证：\[(x+y+z)^2\leqslant ab+bc+ca.\] 2022-04-17 19:27:12
15302 59c732a6778d4700085f6be2 高中 解答题 高中习题 在锐角 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，且\[\dfrac{b}{(a+c)\sin A}=\dfrac{1}{\cos\left(B+\dfrac{3\pi}2\right)}.\] 2022-04-17 19:26:12
15232 5c6f967a210b280150527469 高中 解答题 自招竞赛 在 $\vartriangle ABC$ 中，$AB=13$，$BC=15$ 和 $CA=17$．点 $D$，$E$ 和 $F$ 分别在边 $AB$，$AC$ 和 $CA$ 上．设 $AD=p\cdot AB$，$BE=q\cdot BC$，$CF=r\cdot CA$，其中 $p$，$q$，$r$ 都是正数，且满足 $p+q+r=\frac{2}{3}$，${{p}^{2}}+{{q}^{2}}+{{r}^{2}}=\frac{2}{5}$．$\vartriangle DEF$ 与 $\vartriangle ABC$ 的面积之比可以写成 $\frac{m}{n}$ 的形式，其中 $m$，$n$ 是互素的正整数．求 $m+n$． 2022-04-17 19:50:11
15222 5c74d646210b28428f14cbcd 高中 解答题 自招竞赛 一个圆锥的底面半径为 $600$，高为 $200\sqrt{7}$ 。—只苍蝇从在此圆锥侧面上与顶点的距离为 $125$ 的一点开始，沿着此圆锥的表面爬到此圆锥正对面的某一点，此点与顶点的距离为 $375\sqrt{2}$ 。试求这只苍蝇所可能爬行的最短距离。 2022-04-17 19:45:11
15198 5c91ccd5210b286d125ef449 高中 解答题 自招竞赛 等边 $\Delta ABC$ 中，$D\text{,}E$ 三分 $BC$ 。 $\sin \left( \angle DAE \right)$ 可被表示为 $\frac{a\sqrt{b}}{c}$，其中 $a\text{,}c$ 为互质正整数，$b$ 为没有平方因子的正整数。求 $a+b+c$ 2022-04-17 19:31:11
15197 5c91cd1f210b286d125ef46c 高中 解答题 自招竞赛 $A,B,C$ 为锐角三角形的三个内角，满足
${{\cos }^{2}}A+{{\cos }^{2}}B+2\sin A\sin B\cos C\text{=}\frac{15}{8}\text{,}{{\cos }^{2}}B+{{\cos }^{2}}C+2\sin B\sin C\cos A\text{=}\frac{14}{9}$ 存在正整数 $p\text{,}q\text{,r,s}$ 使得 ${{\cos }^{2}}C+{{\cos }^{2}}A+2\sin C\sin A\cos B\text{=}\frac{p-q\sqrt{r}}{s}$ 其中 $p+q\text{,}s$ 互质，$r$ 为没有平方因子。求 $p+q+r+s$		 2022-04-17 19:30:11
15196 5c944b8f210b286d125ef587 高中 解答题 自招竞赛 $\Delta ABC$ 的三个内角 $A,B,C$ 满足 $\cos 3A+\cos 3B+\cos 3C\text{=}1$，三角形有两边长分别为 $10$ 与 $13$ 。设第三边的最大值为 $\sqrt{m}$，其中 $m$ 是正整数，求 $m$ 的值 2022-04-17 19:30:11
15142 5cb6f231210b280220ed201f 高中 解答题 自招竞赛 已知三棱锥 $S-ABC$ 中侧棱 $SA$、$SB$、$SC$ 互相垂直，$M$ 是底面三角形 $ABC$ 内一动点，直线 $MS$ 与 $SA$、$SB$、$SC$ 所成的角分别是 $\alpha$、$\beta$、$\gamma$． 2022-04-17 19:58:10
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