一个圆锥的底面半径为 $600$，高为 $200\sqrt{7}$ 。—只苍蝇从在此圆锥侧面上与顶点的距离为 $125$ 的一点开始，沿着此圆锥的表面爬到此圆锥正对面的某一点，此点与顶点的距离为 $375\sqrt{2}$ 。试求这只苍蝇所可能爬行的最短距离。
【难度】
【出处】
2004年第22届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
625
【解析】
利用勾股定理可得圆锥顶点到底面圆周上的一点的距离为
$\sqrt{{{\left(200\sqrt{7} \right)}^{2}}+{{600}^{2}}}=200\sqrt{{{\left( \sqrt{7} \right)}^{2}}+{{3}^{2}}}=800$ 。
沿着过圆锥顶点于这只苍蝇出发的点的直线将圆锥的侧面剪开，得到一个半径为 $800$ 的扇形。因为这个扇形所在的圆的周长是 $\text{1600}\!\!\pi\!\!\text{ }$，而扇形周长为 $\text{1200 }\!\!\pi\!\!\text{ }$，所以该扇形的圆心角为 ${{270}^{\circ }}$，由此可知苍蝇的起止点所在的半径夹角为 ${{135}^{\circ }}$ 。利用余弦定理可以得到这只苍蝇所可能爬行的最短距离为
$\sqrt{{{125}^{2}}+{{\left(375\sqrt{2} \right)}^{2}}-2\cdot 125\cdot 375\sqrt{2}\cdot \cos {{135}^{\circ}}}$
$=125\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left(3\sqrt{2} \right)}^{2}}-2\cdot 1\cdot 3\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}=125\sqrt{25}=625$ 。
$\sqrt{{{\left(200\sqrt{7} \right)}^{2}}+{{600}^{2}}}=200\sqrt{{{\left( \sqrt{7} \right)}^{2}}+{{3}^{2}}}=800$ 。
沿着过圆锥顶点于这只苍蝇出发的点的直线将圆锥的侧面剪开，得到一个半径为 $800$ 的扇形。因为这个扇形所在的圆的周长是 $\text{1600}\!\!\pi\!\!\text{ }$，而扇形周长为 $\text{1200 }\!\!\pi\!\!\text{ }$，所以该扇形的圆心角为 ${{270}^{\circ }}$，由此可知苍蝇的起止点所在的半径夹角为 ${{135}^{\circ }}$ 。利用余弦定理可以得到这只苍蝇所可能爬行的最短距离为
$\sqrt{{{125}^{2}}+{{\left(375\sqrt{2} \right)}^{2}}-2\cdot 125\cdot 375\sqrt{2}\cdot \cos {{135}^{\circ}}}$
$=125\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left(3\sqrt{2} \right)}^{2}}-2\cdot 1\cdot 3\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}=125\sqrt{25}=625$ 。
答案
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备注
