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已知 $\sin x,\sin y,\sin z$ 为严格递增的等差数列．求证：$\cos x,\cos y,\cos z$ 不是等差数列．
【难度】
【出处】
2011年北京大学优秀中学生夏令营试题
【标注】
  • 数学竞赛
    >
    三角
    >
    三角计算
  • 知识点
    >
    三角
    >
    三角恒等变换
    >
    和差角公式
  • 知识点
    >
    数列
    >
    等差数列及其性质
    >
    等差数列的定义与通项
  • 方法
    >
    论述方式
    >
    反证法
【答案】
略
【解析】
用反证法．若 $\cos x,\cos y,\cos z$ 是等差数列，那么根据题意，有\[\begin{cases}2\sin y=\sin x+\sin z,\\ 2\cos y=\cos x+\cos z,\end{cases}\]平方相加可得\[\cos(x-z)=1,\]于是 $x=z+2k\pi$，$k\in\mathbb Z$．这与 $\sin x\ne \sin z$ 矛盾．因此 $\cos x,\cos y,\cos z$ 不是等差数列．
其他解法显然 $A(\cos x,\sin x)$，$B(\cos y,\sin y)$，$C(\cos z,\sin z)$ 为单位圆上的三点．若 $\cos x,\cos y,\cos z$ 为等差数列，则 $B$ 是线段 $AC$ 的中点，与 $A,B,C$ 三点共圆矛盾．因此 $\cos x,\cos y,\cos z$ 不是等差数列．
答案 解析 备注
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