若 $\sin \left( {x + 20^\circ } \right) = \cos \left( {x + 10^\circ } \right) + \cos \left( {x - 10^\circ } \right)$，求 $\tan x$．
【难度】
【出处】
2010年浙江大学自主招生保送生测试
【标注】
【答案】
$\sqrt 3 $
【解析】
因为$$\sin \left( {x + 20^\circ } \right) = \cos \left( {x + 10^\circ } \right) + \cos \left( {x - 10^\circ } \right),$$所以$$\sin x\cos 20^\circ + \cos x\sin 20^\circ = 2\cos x\cos 10^\circ ,$$故有$$ \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} = \dfrac{{2\cos 10^\circ - \sin 20^\circ }}{{\cos 20^\circ }},$$于是问题转化为求 $\dfrac{{2\cos 10^\circ - \sin 20^\circ }}{{\cos 20^\circ }}$ 的值．$$\begin{split}\frac{{2\cos 10^\circ - \sin 20^\circ }}{{\cos 20^\circ }} &= \dfrac{{2\cos \left( {30^\circ - 20^\circ } \right) - \sin 20^\circ }}{{\cos 20^\circ }}\\ &= \dfrac{{\left( {\sqrt 3 \cos 20^\circ + \sin 20^\circ } \right) - \sin 20^\circ }}{{\cos 20^\circ }}\\ &= \sqrt 3 .\end{split}$$
答案
解析
备注
