已知 $\sin \alpha + \cos \alpha = a\left( {0 \leqslant a \leqslant \sqrt 2 } \right)$，求 ${\sin ^n}\alpha + {\cos ^n}\alpha $ 关于 $a$ 的表达式．
【难度】
【出处】
2005年复旦大学保送生招生测试
【标注】
【答案】
${\left( {\dfrac{{a + \sqrt {2 - {a^2}} }}{2}} \right)^n} + {\left( {\dfrac{{a - \sqrt {2 - {a^2}} }}{2}} \right)^n}$
【解析】
因为 $\sin \alpha + \cos \alpha = a$，所以$$\sin \alpha \cos \alpha = \dfrac{{{a^2} - 1}}{2},$$于是 $\sin \alpha ,\cos \alpha $ 是方程$${x^2} - ax + \dfrac{{{a^2} - 1}}{2} = 0$$的两根，所以\[\begin{split}{\sin ^n}\alpha + {\cos ^n}\alpha & = {\left[ {\dfrac{{a + \sqrt {{a^2} - 2\left( {{a^2} - 1} \right)} }}{2}} \right]^n} + {\left[ {\dfrac{{a - \sqrt {{a^2} - 2\left( {{a^2} - 1} \right)} }}{2}} \right]^n}\\& = {\left( {\dfrac{{a + \sqrt {2 - {a^2}} }}{2}} \right)^n} + {\left( {\dfrac{{a - \sqrt {2 - {a^2}} }}{2}} \right)^n}.\end{split}\]
答案
解析
备注
